Serie di Taylor di centro in 0, con convergenza puntuale assoluta ed uniforme
Salve a tutti,
Mi sto preparando per dare l'esame di analisi 2, ma l'ultimo argomento che mi manca e che mi sta causando parecchie difficoltà sono le serie e le successioni.
Tramite libro ed internet sto cercando di studiare e di capirci qualcosa, ma oltre un minimo di teoria riguardo gli esercizi non sto avendo grossi risultai.
Vi posto un esercizio di un precedente esame, ovviamente non voglio buttata la soluzione, ma se qualcuno potesse scrivermi i passaggi e spiegarmeli man mano, cosi che io possa comprenderli per poi poter fare qualunque esercizio.
Questa è la traccia:
Data la funzione
f(x)=$1/(1+x)$
determinarne la serie di Taylor con centro in x0 = 0, specificandone gli
insiemi di convergenza puntuale, assoluta e uniforme.
Utilizzando, quindi, la formula di Taylor del terzo ordine con centro in $ x0 = 0 $, calcolare$ f (10^(−2)
) $ e stimare l’errore
Ho iniziato modificando la funzione in $ 1/(1-(-x)) $ in modo da ricondurci ad una serie notevole che si può anche scrivere: $ 1 +(-x) + (-x)^2 + (-x)^3+....+(-x)^n+... $ per ogni $|-x|<1$ che si puo scrivere come $\sum_{n=o}^oo (-1)^n * x^n$ per ogni $ |x|<1$
Mi sto preparando per dare l'esame di analisi 2, ma l'ultimo argomento che mi manca e che mi sta causando parecchie difficoltà sono le serie e le successioni.
Tramite libro ed internet sto cercando di studiare e di capirci qualcosa, ma oltre un minimo di teoria riguardo gli esercizi non sto avendo grossi risultai.
Vi posto un esercizio di un precedente esame, ovviamente non voglio buttata la soluzione, ma se qualcuno potesse scrivermi i passaggi e spiegarmeli man mano, cosi che io possa comprenderli per poi poter fare qualunque esercizio.
Questa è la traccia:
Data la funzione
f(x)=$1/(1+x)$
determinarne la serie di Taylor con centro in x0 = 0, specificandone gli
insiemi di convergenza puntuale, assoluta e uniforme.
Utilizzando, quindi, la formula di Taylor del terzo ordine con centro in $ x0 = 0 $, calcolare$ f (10^(−2)
) $ e stimare l’errore
Ho iniziato modificando la funzione in $ 1/(1-(-x)) $ in modo da ricondurci ad una serie notevole che si può anche scrivere: $ 1 +(-x) + (-x)^2 + (-x)^3+....+(-x)^n+... $ per ogni $|-x|<1$ che si puo scrivere come $\sum_{n=o}^oo (-1)^n * x^n$ per ogni $ |x|<1$
Risposte
Data la serie
\(\displaystyle \sum_{n = 0}^{\infty} a_nx^n\)
Allora il raggio di convergenza \(\displaystyle R \) della serie è dato dalla formula (di Cauchy-Hadamard)
\(\displaystyle \frac{1}{R} = \limsup_{n \rightarrow \infty} |a_n|^{ \frac{1}{n}} \)
Se non sai cos'é un limite superiore, fai finta che quello sia un limite normale.
Quella formula vale anche con i casi \(\displaystyle R=0 \) e \(\displaystyle R= \infty \).
In particolare, hai sempre che la serie converge assolutamente se \(\displaystyle |x| R \).
Il bordo va discusso a parte.
Inoltre, hai convergenza uniforme nei compatti, ovvero la convergenza è uniforme nell'insieme
\(\displaystyle \{ x \in \mathbb R : |x| \leq R - \delta \} \)
per ogni \(\displaystyle 0 < \delta < R \).
Nel caso da te preso in esame il raggio è \(\displaystyle 1 \), e sul bordo hai che la serie diverge per \(\displaystyle x=-1 \), mentre è indeterminata per \(\displaystyle x=1 \) (il limite non esiste perché la serie oscilla tra 0 e 1).
\(\displaystyle \sum_{n = 0}^{\infty} a_nx^n\)
Allora il raggio di convergenza \(\displaystyle R \) della serie è dato dalla formula (di Cauchy-Hadamard)
\(\displaystyle \frac{1}{R} = \limsup_{n \rightarrow \infty} |a_n|^{ \frac{1}{n}} \)
Se non sai cos'é un limite superiore, fai finta che quello sia un limite normale.
Quella formula vale anche con i casi \(\displaystyle R=0 \) e \(\displaystyle R= \infty \).
In particolare, hai sempre che la serie converge assolutamente se \(\displaystyle |x|
Il bordo va discusso a parte.
Inoltre, hai convergenza uniforme nei compatti, ovvero la convergenza è uniforme nell'insieme
\(\displaystyle \{ x \in \mathbb R : |x| \leq R - \delta \} \)
per ogni \(\displaystyle 0 < \delta < R \).
Nel caso da te preso in esame il raggio è \(\displaystyle 1 \), e sul bordo hai che la serie diverge per \(\displaystyle x=-1 \), mentre è indeterminata per \(\displaystyle x=1 \) (il limite non esiste perché la serie oscilla tra 0 e 1).
Allora, dopo il primo passaggio che ho effettuato, posso dire che la serie converge assolutamente, e quindi puntualmente in $ ] -1, 1 [ $ e converge anche uniformemente in un intervallo [-h,h] contenuto in $]-1,1[ $ adesso dovrei studiare la convergenza agli estremi giusto?
Non so se quanto sto per dirti possa essere corretto e/o esserti d'aiuto. Chiedo venia in anticipo.
Comunque, noi sappiamo che la serie geometrica $\sum_{n=0}^oo x^n$ per $|x|<1$ converge alla somma $1/(1-x)$
In questo caso, per ipotesi, supponiamo $|x|<1$, quindi puoi ben vedere che:
$f(x)=1/(1-(-x))=\sum_{n=0}^oo (-x)^n=\sum_{n=0}^oo (-1)^n * x^n$ che converge (in quanto geometrica): puntualmente, assolutamente e uniformemente $AA |x|<1$
(se provi agli estremi, non viene soddisfatta la condizione necessaria alla convergenza, in quanto il termine generale non sarebbe infinitesimo)
Quanto trovato corrisponde anche alla serie di Taylor della funzione data.
La formula di Taylor del terzo ordine con centro in $ x_0 = 0 $, dovrebbe essere $\sum_{n=0}^3 (-1)^n * x^n$ con $x=10^(−2)
$ è lecito usarla in quanto $|10^(−2)|<1$
Per l'errore non so come aiutarti, in questo momento ho i mente solamente errore relativo ed errore assoluto, ma non peso che la traccia si riferisca a questo tipo di errore ma più a un qualcosa che abbia a che fare con il resto di Lagrange.
Comunque, noi sappiamo che la serie geometrica $\sum_{n=0}^oo x^n$ per $|x|<1$ converge alla somma $1/(1-x)$
In questo caso, per ipotesi, supponiamo $|x|<1$, quindi puoi ben vedere che:
$f(x)=1/(1-(-x))=\sum_{n=0}^oo (-x)^n=\sum_{n=0}^oo (-1)^n * x^n$ che converge (in quanto geometrica): puntualmente, assolutamente e uniformemente $AA |x|<1$
(se provi agli estremi, non viene soddisfatta la condizione necessaria alla convergenza, in quanto il termine generale non sarebbe infinitesimo)
Quanto trovato corrisponde anche alla serie di Taylor della funzione data.
La formula di Taylor del terzo ordine con centro in $ x_0 = 0 $, dovrebbe essere $\sum_{n=0}^3 (-1)^n * x^n$ con $x=10^(−2)
$ è lecito usarla in quanto $|10^(−2)|<1$
Per l'errore non so come aiutarti, in questo momento ho i mente solamente errore relativo ed errore assoluto, ma non peso che la traccia si riferisca a questo tipo di errore ma più a un qualcosa che abbia a che fare con il resto di Lagrange.
L'analisi al bordo la fai come ti ho illustrato sopra.
\(\displaystyle f(\frac{1}{100})=\frac{100}{101} \)
L'errore é maggiorato in modulo da
\(\displaystyle |\sum_{n=4}^{\infty} (-10^{-2})^n| \leq \sum_{n=4}^{\infty} (10^{-2})^n = \frac{ 10^{-8} }{1-10^{-2} } \)
\(\displaystyle f(\frac{1}{100})=\frac{100}{101} \)
L'errore é maggiorato in modulo da
\(\displaystyle |\sum_{n=4}^{\infty} (-10^{-2})^n| \leq \sum_{n=4}^{\infty} (10^{-2})^n = \frac{ 10^{-8} }{1-10^{-2} } \)
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