Serie di Taylor complesse
Ciao ragazzi, avrei bisogno di un aiutino con questo problema di serie di Taylor in ambito complesso.
L'esercizio in questione è questo:
richiede di trovare lo sviluppo in serie di Taylor della funzione $ cos z $, centrata nell'origine e precisarne il raggio di convergenza.
Condivido con voi il mio ragionamento così da capire dove ho sbagliato: utilizzando la formula generale capisco che il numeratore della sommatoria è composto da un'alternanza di -1 e 1 nel caso in cui la n sia sempre pari altrimenti se fosse dispari sarebbe uguale a 0. Quindi analizzo il caso in cui la n è pari e noto che per 2n (n sempre pari) se la n è pari ho 1, invece se la n è dispari ho -1. Sostituisco nella formula generale tutto questo ragionamento ma mi perdo nell'ultimo passaggio, non capisco come arrivi a dire che utilizzando il criterio della radice se n è dispari vale 0 altrimenti vale quella radice. Se faccio il limite della radice ottenuta con il criterio della radice a me viene in entrambi i casi 0.
Scusate la lunghezza del post ma era per spiegare bene il mio ragionamento
Grazie in anticipo
L'esercizio in questione è questo:
richiede di trovare lo sviluppo in serie di Taylor della funzione $ cos z $, centrata nell'origine e precisarne il raggio di convergenza.
Condivido con voi il mio ragionamento così da capire dove ho sbagliato: utilizzando la formula generale capisco che il numeratore della sommatoria è composto da un'alternanza di -1 e 1 nel caso in cui la n sia sempre pari altrimenti se fosse dispari sarebbe uguale a 0. Quindi analizzo il caso in cui la n è pari e noto che per 2n (n sempre pari) se la n è pari ho 1, invece se la n è dispari ho -1. Sostituisco nella formula generale tutto questo ragionamento ma mi perdo nell'ultimo passaggio, non capisco come arrivi a dire che utilizzando il criterio della radice se n è dispari vale 0 altrimenti vale quella radice. Se faccio il limite della radice ottenuta con il criterio della radice a me viene in entrambi i casi 0.
Scusate la lunghezza del post ma era per spiegare bene il mio ragionamento
Grazie in anticipo
Risposte
nessuno sa spiegarmelo? 
mi manca solo l'ultimo passaggio della foto
mi manca solo l'ultimo passaggio della foto
Guarda che non c'è nulla da capire. Se \(n\) è dispari, come dice la tua foto, \(c_n = 0\); in caso contrario si ottiene l'espressione indicata.
"Raptorista":
Guarda che non c'è nulla da capire. Se \(n\) è dispari, come dice la tua foto, \(c_n = 0\); in caso contrario si ottiene l'espressione indicata.
Innanzitutto grazie per la risposta. Scusami non capisco... perchè se l'indice della radice fosse dispari il risultato dovrebbe essere 0?
"Fede46":
perchè se l'indice della radice fosse dispari il risultato dovrebbe essere 0?
"Raptorista":
Se \(n\) è dispari \(c_n = 0\).
"Raptorista":
[quote="Fede46"]perchè se l'indice della radice fosse dispari il risultato dovrebbe essere 0?
"Raptorista":[/quote]
Se \(n\) è dispari \(c_n = 0\).
Ho capito cosa hai detto ma mi puoi spiegare quali calcoli o sostituzioni hai fatto? dato che a me viene in entrambi i casi 0
Nella tua immagine, a lato, c'è scritto che \(f^{(2)}(0) = -1\), quindi non può uscirti zero in quel caso. In quel caso esce l'altra formula.
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