Serie di Taylor
Cari ragazzi,
è noto che se una funzione è dotata di derivate di ogni ordine in $(a,b)$ ed esistono $M$ e $L$ costanti positive tali che $|f^{(n)}(x)|\leq ML^n$ per ogni $x\in (a,b)$ allora la funzione è sviluppabile in serie di Taylor di punto inziale $x_0\in (a,b)$.
Ora si consideri la funzione $sen(x^4)$. Mi chiedevo quali sono le costanti che maggiorano le derivate o meglio quale valore le derivate in modulo non possono mai superare.
Ringrazio!
è noto che se una funzione è dotata di derivate di ogni ordine in $(a,b)$ ed esistono $M$ e $L$ costanti positive tali che $|f^{(n)}(x)|\leq ML^n$ per ogni $x\in (a,b)$ allora la funzione è sviluppabile in serie di Taylor di punto inziale $x_0\in (a,b)$.
Ora si consideri la funzione $sen(x^4)$. Mi chiedevo quali sono le costanti che maggiorano le derivate o meglio quale valore le derivate in modulo non possono mai superare.
Ringrazio!
Risposte
Il tuo $(a,b)$ qual è ?
Tutto l'asse reale..
Allora non ci sarebbe bisogno di specificare $(a, b)$....
Leggila bene la condizione sufficiente che hai citato. Non si richiede che quella stima valga su tutto l'asse reale ma che ce ne sia una valida per ogni sottoinsieme limitato. Ovvero, per ogni sottoinsieme limitato di \(\mathbb{R}\) esistono \(L, M\) tali che (etc, etc).
E infatti l'esempio che hai portato è illuminante: siccome la derivata di \(\sin(x^4)\) è \(4\cos(x^4)x^3\), essa non è limitata, quindi già per \(n=1\) il criterio come lo hai messo tu fallirebbe. Però è chiaro che \(\sin(x^4)\) è una funzione analitica.
E infatti l'esempio che hai portato è illuminante: siccome la derivata di \(\sin(x^4)\) è \(4\cos(x^4)x^3\), essa non è limitata, quindi già per \(n=1\) il criterio come lo hai messo tu fallirebbe. Però è chiaro che \(\sin(x^4)\) è una funzione analitica.
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