Serie di Taylor
Salve a tutti,
stò provando a fare degli appelli di calcolo 3, l'esercizio che riguarda le serie di Taylor chiede di scrivere la serie centrata in X0 = 0 della funzione $x^3*sin(4*x)$
Allora io ho messo fuori dalla sommatoria $x^3$, poi ho fatto la sostituzione $4*x = t$ e sviluppato secondo la serie notevole $sin(x)$, infine nello sviluppo ho ri-sostituito arrivando così a:
$x^3\sum_{n=0}^infty (-1)^n*(4*x)^(2n+1)/((2*n+1)!)$
Vi chiedo se è corretta e inoltre se fosse stato anziché X0 = 0 ad esempio X0 = 1, come avrei dovuto procedere?
Grazie per la disponibilità
stò provando a fare degli appelli di calcolo 3, l'esercizio che riguarda le serie di Taylor chiede di scrivere la serie centrata in X0 = 0 della funzione $x^3*sin(4*x)$
Allora io ho messo fuori dalla sommatoria $x^3$, poi ho fatto la sostituzione $4*x = t$ e sviluppato secondo la serie notevole $sin(x)$, infine nello sviluppo ho ri-sostituito arrivando così a:
$x^3\sum_{n=0}^infty (-1)^n*(4*x)^(2n+1)/((2*n+1)!)$
Vi chiedo se è corretta e inoltre se fosse stato anziché X0 = 0 ad esempio X0 = 1, come avrei dovuto procedere?
Grazie per la disponibilità
Risposte
Va bene, ricorda di portare dentro però $x^3$ ora.
Gli sviluppi di Taylor hanno, come tutte le serie di potenze, un dominio di convergenza, ognuno ha il suo. Ti consiglio di controllarli sul libro.
Paola
Gli sviluppi di Taylor hanno, come tutte le serie di potenze, un dominio di convergenza, ognuno ha il suo. Ti consiglio di controllarli sul libro.
Paola
Ciao Paola,
e grazie per la risposta. Ti volevo chiedere come mai devo riportare $x^3$ all'interno della sommatoria? Non andrà moltiplicato per tutti i termini della serie e quindi non è di più facile lettura come ho scritto sopra?
Inoltre se fosse stato X0=1 avrei dovuto scrivere al posto di x nella sommatoria $(x-1)$ ?
e grazie per la risposta. Ti volevo chiedere come mai devo riportare $x^3$ all'interno della sommatoria? Non andrà moltiplicato per tutti i termini della serie e quindi non è di più facile lettura come ho scritto sopra?
Inoltre se fosse stato X0=1 avrei dovuto scrivere al posto di x nella sommatoria $(x-1)$ ?
Perché la forma canonica di una serie di Taylor in $0 $ è $\sum_{n\in\mathbb{N}} a_n x^n$. Non fai niente di sbagliato a lasciarlo fuori, ma non finisci l'ultimo passaggi dell'esercizio secondo me.
Paola
Paola
Ok, lo riporterò alla forma canonica. In questo caso basta metterlo all'interno della sommatoria?
$\sum_{n=0}^\infty (-1)^n*x^3(4x^(2n+1))/((2n+1)!)$
Grazie
$\sum_{n=0}^\infty (-1)^n*x^3(4x^(2n+1))/((2n+1)!)$
Grazie
No. Ottieni $x^{2n+4}=x^{2(n+2)}$.
Paola
Paola
Quindi il finale dovrebbe essere:
$\sum_{n=0}^\infty (-1)^n*(4x^(2(n+2)))/((2n+1)!)$
Mentre se fosse stato X0=1
$\sum_{n=0}^\infty (-1)^n*(4(x-1)^(2(n+2)))/((2n+1)!)$
è corretto?
$\sum_{n=0}^\infty (-1)^n*(4x^(2(n+2)))/((2n+1)!)$
Mentre se fosse stato X0=1
$\sum_{n=0}^\infty (-1)^n*(4(x-1)^(2(n+2)))/((2n+1)!)$
è corretto?
No, se fosse stato $1$ l'$x^3$ diventava $1$.
Paola
Paola
Sto provando a risolvere un altro esercizio sempre sulle serie di Taylor. La funzione è
$e^(x^2)+ln(1+x^2)$ e devo trovare la serie di Taylor centrata in 0
Intanto per le proprietà delle serie le tratto come due serie distinte poi da sommare e utilizzo la sostituzione $x^2=t$.
Utilizzando le serie notevoli riesco ad arrivare ri-sostituendo:
$\sum_{n=0}^\infty x^(2n)/(n!)$
e
$\sum_{n=0}^\infty (-1)^n*x^(2n+1)/(n+1)$
Infine sommandole trovo
$\sum_{n=0}^\infty x^(2n)*[1/(n!)+(-1)^n*x/(n+1)]$
Non sono sicuro del risultato, c'é qualche errore?
$e^(x^2)+ln(1+x^2)$ e devo trovare la serie di Taylor centrata in 0
Intanto per le proprietà delle serie le tratto come due serie distinte poi da sommare e utilizzo la sostituzione $x^2=t$.
Utilizzando le serie notevoli riesco ad arrivare ri-sostituendo:
$\sum_{n=0}^\infty x^(2n)/(n!)$
e
$\sum_{n=0}^\infty (-1)^n*x^(2n+1)/(n+1)$
Infine sommandole trovo
$\sum_{n=0}^\infty x^(2n)*[1/(n!)+(-1)^n*x/(n+1)]$
Non sono sicuro del risultato, c'é qualche errore?
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