Serie di Taylor

[picc_stell]

ciao
qualcuno è in grado di spiegarmi come trovare la serie di Taylor della seguente funzione??

f(x) = $ ln(x+1/4) $ in xo=0

[francescop21]

dovresti saper fare lo sviluppo di $ln(1+t)$, perché è uno di quelli notevoli, quindi potresti fare denominatore comune nell'argomento del logaritmo, poi applichi qualche proprietà dei logaritmi per ricondurti a $ln(1+t)$

[picc_stell]

si si lo sviluppo di log (x+1) lo so! non riesco ancora a capire come poter trovare quello di log (x+1/4)-

se faccio come dici tu viene
$ ln ((4x+1)/4) $
ovvero
$ ln ((4x+1) - ln (4) $

arrivata a questo punto basta che sostituisco il 4x alla x nella serie di log (x+1)?

grazie ancora

[francescop21]

esattamente... puoi fare la sostituzione $t=4x$ perché sono entrambi infinitesimi

[picc_stell]

cioè il risultato del libro indica che deve venire

$ -ln(4)+ sum((((-1)^(n+1) 4^n)/n)x^n ) $

capisco il perchè di -ln(4)
ciò che mi sfugge è come calcolarmi la serie di ln(4x+1)
quali sono i passaggi?

[francescop21]

dunque tu sai che $ln(1+t)=\sum _{n=1} ^{+ \infty} {(-1)^{n-1}}/n t^n$

quello che hai è:$ln(1+4x)$

sostituisci: $t=4x$ nella prima e viene

$ln(1+4x)=\sum _{n=1} ^{+ \infty} {(-1)^{n-1}}/n (4x)^n=\sum _{n=1} ^{+ \infty} {(-1)^{n-1}}/n 4^n * x^n=\sum _{n=1} ^{+ \infty} {(-1)^{n-1}*4^n}/n x^n$

[picc_stell]

grazie davvero!
allora il libro riporta un errore di segno all esponente di meno uno

ultima domanda...
se dovessi calcolarmela in xo = 3
basterebbe sostituire 4x alla solita serie con (x-3)?

[francescop21]

"picc_stell":grazie davvero!
allora il libro riporta un errore di segno all esponente di meno uno

nessun errore di segno: $(-1)^{n-1}=(-1)^{n+1}$

"picc_stell":ultima domanda...
se dovessi calcolarmela in xo = 3
basterebbe sostituire 4x alla solita serie con (x-3)?

per calcolarla in $x_0=3$ basta che ti riconduci ad una forma così: $ln[1+f(x)]$ dove f(x) si annulla per $x=3$ e fai la sostituzione di prima

[picc_stell]

grazie