Serie di Taylor
trovare lo sviluppo di taylor con il resto in forma di peano dino al termine x^3 incluso con punto iniziale x_0=0 di $ f(x)=x^2log(1-x) $
allora io l'ho svolto cosi ma non mi trovo dove sbaglio??
$ log(1-x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+(f^2(x_0)(x-x_0)^2)/(2!)+(f^3(x_0)(x-x_0)^3)/(3!) $
facendo le derivate ottengo
$ log(1-x)=x-x^2/2+x^3/(3!)+o(x^3) $
ma la funzione è $ f(x)=x^2log(1-x) $ quindi mi devo fermare al primo ordine poichè c'è x^2
e ottengo
$ f(x)=x^3+o(x^3) $ è giusto come ragionamento?????
Mi potete spiegare dove sbaglio?
per favore!
GRAZIE
allora io l'ho svolto cosi ma non mi trovo dove sbaglio??
$ log(1-x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+(f^2(x_0)(x-x_0)^2)/(2!)+(f^3(x_0)(x-x_0)^3)/(3!) $
facendo le derivate ottengo
$ log(1-x)=x-x^2/2+x^3/(3!)+o(x^3) $
ma la funzione è $ f(x)=x^2log(1-x) $ quindi mi devo fermare al primo ordine poichè c'è x^2
e ottengo
$ f(x)=x^3+o(x^3) $ è giusto come ragionamento?????
Mi potete spiegare dove sbaglio?
per favore!
GRAZIE
Risposte
non ne sono sicuro... ma potresti provare a derivare l'intera espressione...
"Clod":
non ne sono sicuro... ma potresti provare a derivare l'intera espressione...
derivando l'intera espressione mi trovo (sempre se non ho fatto errori di calcolo) $ f(x)=2x^3+o(x^3) $
va bene cosi?
Ma io mi chiedo: ve lo spiegano l'uso corretto del polinomio di Taylor? Non per criticare il tuo lavoro sapie, che potrebbe anche essere giusto, ma sinceramente pare che vi sfugga l'essenza di cosa sia lo sviluppo di Taylor. Che bisogno hai di perdere tempo infinito a fare 3, dico 3 derivate di una funzione neanche tanto semplice, quando puoi servirti degli sviluppi noti? Sappiamo che
[tex]$\log(1+t)=t-\frac{t^2}{2}+\frac{t^3}{3}+o(t^3)$[/tex] (McLaurin per la funzione logaritmo in $t=0$)
da cui sostituendo $t=-x$ si ha
[tex]$\log(1-x)=-x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}+o(x^3)$[/tex]
e quindi
[tex]f(x)=x^2\left(-x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}+o(x^3)\right)=-x^3+o(x^3)$[/tex]
Come vedi:
1) ci ho messo un attimo
2) ho trovato il risultato corretto
3) non ho fatto derivate
P.S.: sapie non è una critica nei tuoi confronti, anzi. Mi pare di capire, leggendo alcuni altri post riguardo gli sviluppi di Taylor, che probabilmente chi vi insegna queste cose non mette gli adeguati "puntini sulle i" riguardo all'uso corretto da farsi di questo potentissimo strumento!
[tex]$\log(1+t)=t-\frac{t^2}{2}+\frac{t^3}{3}+o(t^3)$[/tex] (McLaurin per la funzione logaritmo in $t=0$)
da cui sostituendo $t=-x$ si ha
[tex]$\log(1-x)=-x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}+o(x^3)$[/tex]
e quindi
[tex]f(x)=x^2\left(-x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}+o(x^3)\right)=-x^3+o(x^3)$[/tex]
Come vedi:
1) ci ho messo un attimo
2) ho trovato il risultato corretto
3) non ho fatto derivate
P.S.: sapie non è una critica nei tuoi confronti, anzi. Mi pare di capire, leggendo alcuni altri post riguardo gli sviluppi di Taylor, che probabilmente chi vi insegna queste cose non mette gli adeguati "puntini sulle i" riguardo all'uso corretto da farsi di questo potentissimo strumento!
"ciampax":
Ma io mi chiedo: ve lo spiegano l'uso corretto del polinomio di Taylor? Non per criticare il tuo lavoro sapie, che potrebbe anche essere giusto, ma sinceramente pare che vi sfugga l'essenza di cosa sia lo sviluppo di Taylor. Che bisogno hai di perdere tempo infinito a fare 3, dico 3 derivate di una funzione neanche tanto semplice, quando puoi servirti degli sviluppi noti? Sappiamo che
[tex]$\log(1+t)=t-\frac{t^2}{2}+\frac{t^3}{3}+o(t^3)$[/tex] (McLaurin per la funzione logaritmo in $t=0$)
da cui sostituendo $t=-x$ si ha
[tex]$\log(1-x)=-x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}+o(x^3)$[/tex]
e quindi
[tex]f(x)=x^2\left(-x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}+o(x^3)\right)=-x^3+o(x^3)$[/tex]
Come vedi:
1) ci ho messo un attimo
2) ho trovato il risultato corretto
3) non ho fatto derivate
P.S.: sapie non è una critica nei tuoi confronti, anzi. Mi pare di capire, leggendo alcuni altri post riguardo gli sviluppi di Taylor, che probabilmente chi vi insegna queste cose non mette gli adeguati "puntini sulle i" riguardo all'uso corretto da farsi di questo potentissimo strumento!
ok grazie per il consiglio
alla fine avevo sbagliato le derivate... il risultato è lo stesso ma il tuo procedimento è molto ma molto piu veloce del mio
grazie ancora
Prego: in ogni caso ribadisco il concetto: gli sviluppi di McLaurin vengono scritti proprio per evitare di calcolarsi una serie di derivate che potrebbero portare via tanto tanto tanto tempo!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo