Serie di Taylor

[francyluna91]

CIao a tutti allora il mio professore ha fatto una dimostrazione su come arrivare a dire che $ sum_(n = 0)^(oo )(x)^(n) = 1/(1-x) $

lo ha dimostrato per induzione
Allora
$ AA n in NN (f(x))^(n) = (n!)/(1-x)^(n+1) $

per $ n=0 $ è vera e risulta $ 1/(1-x) $

supponendo che $(f(x))^(n) = (n!)/(1-x)^(n+1) $ sia vera allora anche $ (f(x))^(n+1) = (n+1!)/(1-x)^(n+2) $ deve essere vera dopo di che ha fatto la derivata

$ (f(x))^(n+1) = [(n!)(n+1)(1-x)^n]/(1-x)^[2(n+1)] $
non ho capito questo passaggio potreste spiegarmelo? ho capito che ha fatto la derivata del termine (n+1)esimo però non ho capito come ha fatto...cioè so che $ (n+1)! $ è una costante quindi sarebbe la derivata del rapporto con sopra una costante però la derivata di $ (1-x)^(n+2) $ non dovrebbe essere $ (n+2)(1-x)^(n+1)$ ?

[deserto1]

Nella dimostrazione effettuata le derivate non entrano in gioco!

Basta scrivere $ (f(x))^(n+1) = [(n+1)!]/(1-x)^(n+2) = [(n+1)n!(1-x)^n]/ [(1-x)^(n+2)(1-x)^n $ ossia è stato sviluppato $(n+1)!$ $=(n+1)n!$ e sono stati moltiplicati numeratore e denominatore per la stessa quantità $(1-x)^n$