Serie di Taylor

[Carlus1]

Non sono sicuro della correttezza dello svolgimento di questo esercizio non avendo la soluzione, potreste aiutarmi?
Data la funzione di variabile complessa:

$f(z)=(4z)/(z-1)^2$

determinare:
a) insiene di definizione E e campo di olomorfia A
b) precisando "a priori" il relativo campo di convergenza, scrivere:
i) la serie di Taylor in $z_0=0$
ii) la serie di Taylor in $z_0=1-2i$

QUINDI io ho fatto così:

a) E$-=$A=$CC$-{1}

b, i) $z_0=0$

$f(z)=(4z)/(z-1)^2=(4z)/((z-2)*(z+1))=(A/(z-2))+(B/(z+1))$
trovando così i coefficienti $A=8/3$ e $B=4/3$
sostituendo ottengo:

$-8/(3*2(1-z/2)) + 4/(3*(z+1))=-8/6\sum_{k=0}^oo (z/2)^k + 4/3\sum_{k=0}^oo (-1)^k (z)^k=4/3\sum_{k=0}^oo (-1)^k (z)^k - (z/2)^k$
regione di convergenza $|z|<2$

b, ii) $z_0=1-2i$
$4/3(1/(z+1)-1/(1-z/2))=4/3(1/(z+1-z_0+z_0)-1/(2-z-z_0+z_0))=4/3(1/((1+z_0)-(z_0-z))-1/((2-z_0)-(z-z_0)))=4/3(1/((1+z_0)*(1-(z_0-z)/(1+z_0)))-1/((2-z_0)*(1-(z-z_0)/(2-z_0))))=4/3(1/(1+z_0)\sum_{k=0}^oo ((z_0-z)/(-1-z_0))^k - 1/(2-z_0)\sum_{k=0}^oo ((z-z_0)/(2-z_0))^k)$
sostituendo $z_0=1-2i$ ottengo:
$4/3(1/(2-2i)\sum_{k=0}^oo ((1-2i-z)/(-2+2i))^k - 1/(1+2i)\sum_{k=0}^oo ((z-1+2i)/(1+2i))^k)$
regioni di convergenza:
$|(1-2i-z)/(-2+2i)|<1 => |(1-2i-z)|<|(-2+2i)|$
$|(z-1+2i)/(1+2i)|<1 => |(z-1+2i)|<|(1+2i)|$

è corretto?

[Cantaro86]

ciao
il procedimento è corretto, però mi sembra che ci sia qualche calcolo sbagliato
$(z-1)^2\ne(z-2)(z+1)$
gli errori si vedono nella concusione, infatti la funzione ha una singolarità in $z_0=1$ e nello sviluppo attorno allo 0 dovrebbe avere una regione di convergenza $|z|<1$

[Carlus1]

Hai perfettamente ragione! Ho provato a fare in questo modo ma mi risulta $|1+z|<1$ ...

$f(z)=(4z)/(z-1)^2=A/(z-1)+d/dz B/(z-1)$
$A/(z-1)=A/-(1-z)=-A\sum_{k=0}^oo z^k$
$d/dz B/(z-1)=d/dz B\sum_{k=0}^oo z^k=Bk\sum_{k=0}^oo z^(k-1)$
Quindi:
$f(z)=Bk-A\sum_{k=0}^oo z^k (1+z)$ con $|1+z|<1$ è corretto?

[Cantaro86]

volendo usare il metodo con la derivata...nello sviluppo attorno allo 0 io farei così:

$f(z)=(4z)/((z-1)^2)=4z*1/((1-z)^2)=-4z*d/(dz)[1/(1-z)]=-4z*d/(dz)[sum_(n=0)^\inftyz^n]=-4z*sum_(n=1)^\inftynz^(n-1)=-4sum_(n=1)^\inftynz^n$

può andare bene come risultato?

nel altro punto devi introdurre $z_0$ nello stesso modo che hai fatto sopra...