Serie di Taylor

[eafkuor1]

Abbiamo che, essendo $F(x)$ e $G(x)$ due funzioni derivabili $n$ volte nell'insieme $I$, che si annullano in $x_0$ con le loro derivate fino all'ordine $n-1$ incluso, ed essendo $x in I$, esiste un punto $xi$ tale che

$(F(x))/(G(x))=(F^((n))(xi))/(G^((n))(xi))$ $(1)$

($f^((n))(x)$ derivata n-esima di $f(x)$)
e fin qui tutto va bene.

Se ora prendiamo $F(x)=f(x)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0)-...-(f^((n-1))(x_0))/((n-1)!)(x-x_0)^(n-1)$ e $G(x)=(x-x_0)^n$ (funzioni che rispettano le condizioni del teorema precedente) non capisco come questa (formula di Taylor)

$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+...+(f^((n-1))(x_0))/((n-1)!)(x-x_0)^(n-1)+(f^((n-1))(xi))/(n!)(x-x_0)^n$

possa essere conseguenza della $(1)$




Inoltre c'è un corollario che non riesco a capire:

posto

$P_n(x;x_0)=sum_(k=0)^n( (f^((k))(x_0))/(k!)(x-x_0^k) )$

e

$R_n(x;x_0)=f(x)-P_n(x;x_0)$

risulta $R_n(x;x_0)=( f^((n))(xi)-f^((n))(x_0) )/(n!(x-x_0)^n)$

ma non dovrebbe essere $R_n(x;x_0)=( f^((n))(xi)-f^((n))(x_0) )/(n!)(x-x_0)^n$
?

Vi ringrazio anticipatamente

[eafkuor1]

Lo so è forse un po' lunghino da spiegare, ma non c'è nessuno così misericordioso da darmi una mano?

Va bè, domani mi raguardo tutto per benino

[Nidhogg]

Prima domanda:

Beh forse dimostrando il teorema

Abbiamo che, essendo $F(x)$ e $G(x)$ due funzioni derivabili $n$ volte nell'insieme $I$, che si annullano in $x_0$ con le loro derivate fino all'ordine $n-1$ incluso, ed essendo $x in I$, esiste un punto $xi$ tale che

$(F(x))/(G(x))=(F^((n))(xi))/(G^((n))(xi))$ $(1)$

risulterò più facile la comprensione.

Per il teorema di Cauchy e per la condizione $F(x_0)=G(x_0)=0$, si ha: $(F(x))/(G(x))=(F(x)-F(x_0))/(G(x)-G(x_0))=(F'(xi_1))/(G'(xi_1))$, dove $xi_1$ è un punto compreso fra $x$ e $x_0$. Ora $F'(x_0)=G'(x_0)=0$ e quindi è applicabile il teorema di Cauchy a $(F'(xi_1))/(G'(xi_1))$. Si ha:

$(F(x))/(G(x))=(F'(xi_1))/(G'(xi_1))=(F''(xi_2))/(G''(xi_2))$, con $xi_2$ è un punto compreso fra $xi_1$ e $x_0$, quindi fra $x$ e $x_0$. Si procede nello stesso modo, fin quando le derivate si annullano nel punto $x_0$. Quindi si troveranno i punti $xi_1,xi_2,...,xi_{n-1}$, tali che: $(F(x))/(G(x))=(F'(xi_1))/(G'(xi_1))=(F''(xi_2))/(G''(xi_2))=...=(F^(n-1)(xi_{n-1}))/(G^(n-1)(x)(xi_{n-1}))$. Inoltre poichè le derivate $(n-1)$-esime si annullano in $x_0$ si applicare ancora una volta il teorema di Cauchy, e quindi si ha: $(F(x))/(G(x))=(F^n(xi))/(G^n(x)(xi))$, per $xi$ compreso tra $x$ e $x_0$.

Quindi scegliendo $F(x)=f(x)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0)-...-(f^((n-1))(x_0))/((n-1)!)(x-x_0)^(n-1)$ e $G(x)=(x-x_0)^n$, queste si annullano in $x_0$ con le loro derivate fino all'ordine $n-1$.


Seconda domanda:

La definizione di resto n-esimo $R_n(x;x_0)=f(x)-P_n(x;x_0)$ diventa importante grazie al teorema: la serie di Taylor $sum_{k=1}^{oo} (f^(k)(x_0))/(k!)*(x-x_0)^k$ affinchè converga a $f(x)$ è necessario e sufficiente che il resto n-esimo tenda a 0: $lim_{n to oo} R_n(x,x_0)=0$. E quindi è possibile dare una valutazione del resto n-esimo: $R_n(x;x_0)=( f^((n))(xi)-f^((n))(x_0) )/(n!(x-x_0)^n)$

[eafkuor1]

"leonardo":
Quindi scegliendo $F(x)=f(x)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0)-...-(f^((n-1))(x_0))/((n-1)!)(x-x_0)^(n-1)$ e $G(x)=(x-x_0)^n$, queste si annullano in $x_0$ con le loro derivate fino all'ordine $n-1$.

si questo l'ho capito, ma non vedo come dal fatto che $(F(x))/(G(x))=(F^((n))(xi))/(G^((n))(xi))$ possa seguirne la serie di Taylor

E poi per il resto se noi facciamo $f(x)-P_n(x;x_o)$ viene fuori proprio quello che ho scritto io

[eafkuor1]

Ho riguardato tutto proprio adesso e devo dire che era una banalità..
In effetti se prendiamo

$F(x)=f(x)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0)-...-(f^((n-1))(x_0))/((n-1)!)(x-x_0)^(n-1)$
e
$G(x)=(x-x_0)^n$

abbiamo

$F^((n))(xi)=f^((n))(xi)$
e
$G^((n))(xi)=n!$

quindi facendo il rapporto

$(F(x))/(G(x))=(F^((n))(xi))/(G^((n))(xi))$
$(f(x)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0)-...-(f^((n-1))(x_0))/((n-1)!)(x-x_0)^(n-1))/(x-x_0)^n=(f^((n))(xi))/(n!)$

troviamo la serie di Taylor

Tra un po' mi riguardo la storia del resto e poi vi dico

[eafkuor1]

bho forse non dovevo mettermici adesso, ma se facciamo

$f(x)-P_n(x;x_0)$
troviamo

$( f^((n))(xi)-f^((n))(x_0) )/(n!)(x-x_0)^n$