Serie di soli coseni e di soli seni
Salve a tutti,
mi è sorto un dubbio, se avessi questa espressione:
f(x)= x(pi greco-x) con 0
...posso svilupparla sia in serie di soli seni (prolungandola in maniera dispari) che di soli coseni (prolungandola in maniera pari)??? tra - pi greco e + pi greco?
mi è sorto un dubbio, se avessi questa espressione:
f(x)= x(pi greco-x) con 0
...posso svilupparla sia in serie di soli seni (prolungandola in maniera dispari) che di soli coseni (prolungandola in maniera pari)??? tra - pi greco e + pi greco?
Risposte
Non è ben chiaro in che modo vorresti prolungare in modo da ottenere una funzione o solo pari o solo dispari.
vorrei svilupparla in serie di soli seni o serie di soli coseni...
nel caso di prolungamento dispari tra - pi e +pi farei in questo modo:
$ 2/pi int_(<-pi>)^(<+pi>) $
nel caso di prolungamento pari, quindi in serie di solo coseno, come dovrei fare?
oppure erro, secondo Voi, anche nella serie di soli seni?
nel caso di prolungamento dispari tra - pi e +pi farei in questo modo:
$ 2/pi int_(<-pi>)^(<+pi>)
nel caso di prolungamento pari, quindi in serie di solo coseno, come dovrei fare?
oppure erro, secondo Voi, anche nella serie di soli seni?
Per poterla esprimere in funzione di soli seni (coseni) devi stabilire se essa è dispari (pari).
Quella funzione ti sembra pari o dispari?
Quella funzione ti sembra pari o dispari?
A quanto è in mia conoscenza, se la funzione è:
continua
assolutamente integrabile
e vale la condizione del Dini
si può esprimere in serie di seni e coseni...tra -pi e +pi; sicché la Vostra osservazione sarebbe stata pertinente se la funzione avesse avuto periodicità 2pi e definita tra -pi e +pi, in quel caso a seconda della sua forma, pari o dispari, avrebbe avuto rispettivamente solo coseno o solo seno,(in questo caso la funzione f è "formata" da due funzioni in x entrambe dispari quindi risulta essere pari).
La mia domanda era, a mio umile avviso, meno semplice perché essendo definita tra 0 e +pi, si potrebbe "prolungare" sicuramente in maniera dispari ed essere espressa come serie di solo seno. Quindi mi chiedevo se la stessa poteva essere prolungata anche in maniera pari sempre tra -pi e +pi, ed esprimerla solo in funzione di coseno, se vi era qualche accortezza, o se non si poteva fare.
continua
assolutamente integrabile
e vale la condizione del Dini
si può esprimere in serie di seni e coseni...tra -pi e +pi; sicché la Vostra osservazione sarebbe stata pertinente se la funzione avesse avuto periodicità 2pi e definita tra -pi e +pi, in quel caso a seconda della sua forma, pari o dispari, avrebbe avuto rispettivamente solo coseno o solo seno,(in questo caso la funzione f è "formata" da due funzioni in x entrambe dispari quindi risulta essere pari).
La mia domanda era, a mio umile avviso, meno semplice perché essendo definita tra 0 e +pi, si potrebbe "prolungare" sicuramente in maniera dispari ed essere espressa come serie di solo seno. Quindi mi chiedevo se la stessa poteva essere prolungata anche in maniera pari sempre tra -pi e +pi, ed esprimerla solo in funzione di coseno, se vi era qualche accortezza, o se non si poteva fare.
Guarda isci, invece di perdere tempo a parlare/scrivere (ed usare grassetti e maiuscoli contro il regolamento, cfr. 3.5), basterebbe fare due disegnini per risolvere la faccenda.
Hai la funzione:
[tex]$f(x) = x(\pi -x)$[/tex] definita in [tex]$]0,\pi [$[/tex]
il cui grafico è:
[asvg]xmin=-4;xmax=4;ymin=-4;ymax=4;
axes("","");
plot("x*(3.14-x)",0,3.14);[/asvg]
Prolungare [tex]$f$[/tex] in maniera pari su [tex]$]-\pi ,\pi[$[/tex] significa riflettere il grafico di prima rispetto all'asse [tex]$y$[/tex]:
[asvg]xmin=-4;xmax=4;ymin=-4;ymax=4;
axes("","");
plot("x*(3.14-x)",0,3.14);
stroke="red"; plot("-x*(3.14+x)",-3.14,0);[/asvg]
mentre prolungare [tex]$f$[/tex] in maniera dispari a [tex]$]-\pi ,\pi[$[/tex] significa riflettere il grafico rispetto all'origine degli assi:
[asvg]xmin=-4;xmax=4;ymin=-4;ymax=4;
axes("","");
plot("x*(3.14-x)",0,3.14);
stroke="dodgerblue"; plot("x*(3.14+x)",-3.14,0);[/asvg]
Lascio a te scrivere le leggi d'assegnazione dei prolungamenti così ottenuti.
[mod="gugo82"]Ovviamente, maiuscolo e grassetto sono stati prontamente eliminati.[/mod]
Hai la funzione:
[tex]$f(x) = x(\pi -x)$[/tex] definita in [tex]$]0,\pi [$[/tex]
il cui grafico è:
[asvg]xmin=-4;xmax=4;ymin=-4;ymax=4;
axes("","");
plot("x*(3.14-x)",0,3.14);[/asvg]
Prolungare [tex]$f$[/tex] in maniera pari su [tex]$]-\pi ,\pi[$[/tex] significa riflettere il grafico di prima rispetto all'asse [tex]$y$[/tex]:
[asvg]xmin=-4;xmax=4;ymin=-4;ymax=4;
axes("","");
plot("x*(3.14-x)",0,3.14);
stroke="red"; plot("-x*(3.14+x)",-3.14,0);[/asvg]
mentre prolungare [tex]$f$[/tex] in maniera dispari a [tex]$]-\pi ,\pi[$[/tex] significa riflettere il grafico rispetto all'origine degli assi:
[asvg]xmin=-4;xmax=4;ymin=-4;ymax=4;
axes("","");
plot("x*(3.14-x)",0,3.14);
stroke="dodgerblue"; plot("x*(3.14+x)",-3.14,0);[/asvg]
Lascio a te scrivere le leggi d'assegnazione dei prolungamenti così ottenuti.
[mod="gugo82"]Ovviamente, maiuscolo e grassetto sono stati prontamente eliminati.[/mod]
Quello che ha disegnato gugo82 è differente da quello che io avevo inteso come prolungamento.
Ovviamente (avevo dimenticato di scriverlo prima), il prolungamento pari si sviluppa in serie di soli coseni, mentre quello dispari in serie di soli seni; perciò la [tex]$f$[/tex] può essere rappresentata sia come somma di seni che come somma di coseni in [tex]$]0,\pi[$[/tex].
@K.Lomax: Perchè differente? Come l'avevi pensato?
@K.Lomax: Perchè differente? Come l'avevi pensato?
Avevo pensato alla stessa funzione estesa all'intervallo [tex](-\pi,\pi)[/tex] e non ad una "replicazione" della porzione contenuta in [tex](0,\pi)[/tex] anche sull'intervallo [tex](-\pi,0)[/tex] 
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