Serie di potenze trigonometrica analisi 2

[miumiu7-votailprof]

Salve a tutti...ho questo quesito di analisi 2 da chiedervi...ho questa serie di potenze:
$\sum_{n=1}^(+oo) sin sqrt(n) /(2n) (x-1)^n$
e l ho svolta così:
ho applicato il criterio del rapporto per trovarmi il raggio...che è uguale ad 1, e così ho che converge assolutamente in ]0,2[ e totalmente in [1-k,1+k] con 0 Ora quando mi studio il caso x=2...ho dei problemi perchè mi ritrovo a studiare la serie:
$\sum_{n=1}^(+oo) sin sqrt(n) /(2n)$ e non so come fare...mi potreste aiutare?
grazie

[salvozungri]

Esiste un criterio, abbastanza oscurato a dire il vero, che potrebbe fare al caso tuo.
Criterio di Dirichlet:
Siano ${a_n}_{n\in NN}$, ${b_n}_{n\in NN}$ due successioni di numeri reali tali che:
1) la somma $ \sum_{k=1}^N a_k$ sia limitata per ogni $N\in NN$.
2) la successione ${b_n}_{n\inNN}$ è decrescente e tendente a $0$

Allora la serie $\sum_{n=1}^\infty a_n b_n$ è convergente.


In questo caso $a_n= sin(\sqrt(n))$ mentre $b_n= 1/n$. Prova a verificare le ipotesi, e trai le dovute conclusioni. Se hai necessità fatti sentire
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Ai miei colleghi del forum: esiste un metodo alternativo che non richieda questo criterio?

[miumiu7-votailprof]

grazie mille Mathematico ...non ricordavo proprio questo criterio...