Serie di potenze senza $n$ all'esponente
come faccio a studiare serie di questo tipo? cioè dove non c'è evidenziato un termine del tipo $(h(x))^n$, in altre parole non c'è la n all'esponente
a) $\sum 1/nx^(n^2)$
b) $\sum x^{n!}$
grazie
a) $\sum 1/nx^(n^2)$
b) $\sum x^{n!}$
grazie
Risposte
Sul Pagani-Salsa c'è qualche teorema/criterio anche per il caso di serie di funzioni generiche, prova a dare un'occhiata [anche su un altro libro].
Diamine... Un po' di inventiva! 
Semplicemente puoi riscrivere i coefficienti aggiungendo i termini mancanti...
La serie \(\sum \frac{1}{n}\ x^{n^2}\) si può riscrivere come \(\sum a_n\ x^n\) i cui coefficienti sono definiti per casi come segue:
\[
a_n := \begin{cases} \frac{1}{h} &\text{, se } n =h^2 \text{ (cioè se } n \text{ è un quadrato perfetto)}\\
0 &\text{, altrimenti.}
\end{cases}
\]
Conseguentemente,
\[
\begin{split}
\sqrt[n]{a_n} &:= \begin{cases} h^{-\frac{1}{h^2}} &\text{, se } n =h^2 \text{ (cioè se } n \text{ è un quadrato perfetto)}\\
0 &\text{, altrimenti}
\end{cases}\\
&= \begin{cases} e^{-\frac{1}{h^2}\ \log h} &\text{, se } n =h^2 \text{ (cioè se } n \text{ è un quadrato perfetto)}\\
0 &\text{, altrimenti}
\end{cases}
\end{split}
\]
ed il criterio di Cauchy-Hadamard ti fornisce:
\[
\frac{1}{\rho} = \operatorname{maxlim}_{n\to \infty} \sqrt[n]{a_n} = \lim_{h\to \infty} e^{-\frac{1}{h^2}\ \log h} = 1
\]
da cui \(\rho =1\).
Semplicemente puoi riscrivere i coefficienti aggiungendo i termini mancanti...
La serie \(\sum \frac{1}{n}\ x^{n^2}\) si può riscrivere come \(\sum a_n\ x^n\) i cui coefficienti sono definiti per casi come segue:
\[
a_n := \begin{cases} \frac{1}{h} &\text{, se } n =h^2 \text{ (cioè se } n \text{ è un quadrato perfetto)}\\
0 &\text{, altrimenti.}
\end{cases}
\]
Conseguentemente,
\[
\begin{split}
\sqrt[n]{a_n} &:= \begin{cases} h^{-\frac{1}{h^2}} &\text{, se } n =h^2 \text{ (cioè se } n \text{ è un quadrato perfetto)}\\
0 &\text{, altrimenti}
\end{cases}\\
&= \begin{cases} e^{-\frac{1}{h^2}\ \log h} &\text{, se } n =h^2 \text{ (cioè se } n \text{ è un quadrato perfetto)}\\
0 &\text{, altrimenti}
\end{cases}
\end{split}
\]
ed il criterio di Cauchy-Hadamard ti fornisce:
\[
\frac{1}{\rho} = \operatorname{maxlim}_{n\to \infty} \sqrt[n]{a_n} = \lim_{h\to \infty} e^{-\frac{1}{h^2}\ \log h} = 1
\]
da cui \(\rho =1\).
Molto carino, ma è una soluzione ad hoc (?)
"gugo82":
Diamine... Un po' di inventiva!
Semplicemente puoi riscrivere i coefficienti aggiungendo i termini mancanti...
La serie \(\sum \frac{1}{n}\ x^{n^2}\) si può riscrivere come \(\sum a_n\ x^n\) i cui coefficienti sono definiti per casi come segue:
\[
a_n := \begin{cases} \frac{1}{h} &\text{, se } n =h^2 \text{ (cioè se } n \text{ è un quadrato perfetto)}\\
0 &\text{, altrimenti.}
\end{cases}
\]
Conseguentemente,
\[
\begin{split}
\sqrt[n]{a_n} &:= \begin{cases} h^{-\frac{1}{h^2}} &\text{, se } n =h^2 \text{ (cioè se } n \text{ è un quadrato perfetto)}\\
0 &\text{, altrimenti}
\end{cases}\\
&= \begin{cases} e^{-\frac{1}{h^2}\ \log h} &\text{, se } n =h^2 \text{ (cioè se } n \text{ è un quadrato perfetto)}\\
0 &\text{, altrimenti}
\end{cases}
\end{split}
\]
ed il criterio di Cauchy-Hadamard ti fornisce:
\[
\frac{1}{\rho} = \operatorname{maxlim}_{n\to \infty} \sqrt[n]{a_n} = \lim_{h\to \infty} e^{-\frac{1}{h^2}\ \log h} = 1
\]
da cui \(\rho =1\).
Grazie.
Va bene scrivere una cosa del genere?
La serie è equivalente alla serie seguente (n^2->n)
$\sum a_n x^n$ dove gli $a_n$ valgono $1/sqrt(n)$ dove $n$ è un quadrato perfetto e $0$ altrove.
Allora $limsup frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}=lim_{n to \infty} frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}=lim frac{sqrt(n)}{sqrt(n+1)} to 1$
Da cui $\rho=1$
grazie
"Raptorista":
Sul Pagani-Salsa c'è qualche teorema/criterio anche per il caso di serie di funzioni generiche, prova a dare un'occhiata [anche su un altro libro].
Grazie, sai per caso dove poterlo trovare online?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo