Serie di potenze... (limite inside)

[desperados3]

ciao a tutti, ho questo esercizio




devo calcolare il raggio di convergenze della serie, se le mie info non sono errate dovrei calcolare questo limite:

limite che va da n a più infinito della radice ennesima del valore assoluto del polinomio an (cioè quello che moltiplica $x^n$).

però non riesco proprio a svolgere questo limite... come posso fare?

[desperados3]

ho scoperto che si può trovare il raggio di convergenza di una serie tramite il criterio del rapporto. a questo punto ho un dubbio su un limite....

limite di n che tende a più infinito di:

$(3^n+n^2+n+1)/(3^n)$

è uguale a 1?

[pat871]

Con il criterio della radice fai prima:

$R = (limsu p_(n -> infty) |a_n|^(1/n))^(-1) = (limsu p_(n -> infty) ((3^n)/(n^2 + n + 1))^(1/n))^(-1) = 1/3 (limsu p_(n -> infty) 1/(n^2 + n + 1)^(1/n))^(-1) = 1/3$
Visto che in generale vale $lim_(n -> infty) (n^k)^(1/n) = 1$, per un $k \in NN$

Con il criterio del rapporto invece:
$R = limsu p_(n -> infty) |(a_n)/(a_(n+1))| = limsu p_(n -> infty) ((3^n)/(n^2 + n + 1))/((3^(n+1))/((n+1)^2 + n + 2)) = limsu p_(n -> infty) ((n+1)^2 + n + 2)/(3(n^2 + n + 1)) = 1/3$