Serie di potenze in campo complesso
Ciao a tutti, avrei bisogno di aiuto per i seguenti esercizi dove si chiede di trovare raggio e insieme di convergenza:
1) $sum_{n=0}^oo(n+a^n)z^n$
2) $sum_{n=0}^oo (sqrt(n)-[sqrt(n)])z^n$
Per il primo ho solo un dubbio da chiarire. Io ho risolto l'esercizio distinguendo due casi: $|a|<=1$ e $|a|>1$, Per il primo caso i risultati mi vengono uguali a quelli del libro quindi lo svolgimento dovrebbe essere giusto. Nel secondo caso i miei risultati differiscono per quanto riguardo l'insieme di convergenza. Infatti dopo aver trovato il raggio di convergenza $R=|a|^(-1)$ ho studiato il comportamento della serie sulla frontiera del disco di convergenza. Ponendo $z=|a|^(-1)$ ho applicato il criterio della radice a $sum_{n=0}^oo(n+a^n)a^(-n)=sum_{n=0}^oona^(-n)+1$ ottenendo
$lim_{n->+oo}(na^(-n)+1)^(1/n)=1/a$ e quindi, per quanto trovato, la serie dovrebbe convergere sulla frontiera del disco mentre le soluzioni dicono che c'è convergenza solo all'interno...dove sbaglio?
Per il secondo ho decisamente più difficoltà perchè non so come comportarmi con la parte intera quando vado a calcolare il limite per trovare il raggio di convergenza..qualcuno puo' aiutarmi?grazie mille in anticipo a tutti!!
1) $sum_{n=0}^oo(n+a^n)z^n$
2) $sum_{n=0}^oo (sqrt(n)-[sqrt(n)])z^n$
Per il primo ho solo un dubbio da chiarire. Io ho risolto l'esercizio distinguendo due casi: $|a|<=1$ e $|a|>1$, Per il primo caso i risultati mi vengono uguali a quelli del libro quindi lo svolgimento dovrebbe essere giusto. Nel secondo caso i miei risultati differiscono per quanto riguardo l'insieme di convergenza. Infatti dopo aver trovato il raggio di convergenza $R=|a|^(-1)$ ho studiato il comportamento della serie sulla frontiera del disco di convergenza. Ponendo $z=|a|^(-1)$ ho applicato il criterio della radice a $sum_{n=0}^oo(n+a^n)a^(-n)=sum_{n=0}^oona^(-n)+1$ ottenendo
$lim_{n->+oo}(na^(-n)+1)^(1/n)=1/a$ e quindi, per quanto trovato, la serie dovrebbe convergere sulla frontiera del disco mentre le soluzioni dicono che c'è convergenza solo all'interno...dove sbaglio?
Per il secondo ho decisamente più difficoltà perchè non so come comportarmi con la parte intera quando vado a calcolare il limite per trovare il raggio di convergenza..qualcuno puo' aiutarmi?grazie mille in anticipo a tutti!!
Risposte
[tex]\sum_{n=0}^{+ \infty} na^{-n} +1[/tex] diverge perchè il termine generale della serie non è infinito: [tex]lim_{n \to + \infty} na^{-n} +1 = 1[/tex].
Non serve quindi applicare il criterio della radice, ma non può risultare convergente. Infatti:
[tex]lim_{n \to + \infty} (na^{-n} +1)^{1/n} = 1[/tex], che non permette di decidere.
Non serve quindi applicare il criterio della radice, ma non può risultare convergente. Infatti:
[tex]lim_{n \to + \infty} (na^{-n} +1)^{1/n} = 1[/tex], che non permette di decidere.
Per la seconda serie, invece, direi che [tex]0 \le \sqrt{n} - [ \sqrt{n} ] \le 1[/tex], quindi la serie converge sicuramente per $|z|<1$.
Il problema è stabilire se questo è il disco di convergenza è più grande ed eventualmente il comportamento sul bordo.
Intuitivamente mi aspetto che l'insieme dato da [tex]\{ \sqrt{n} - [ \sqrt{n} ], \ n \in \mathbb{N}^+ \}[/tex] sia denso in $[0,1]$, da cui seguirebbe che per $|z|>=1$ la serie non può convergere perchè il termine generale non risulterebbe infinitesimo.
Il problema è stabilire se questo è il disco di convergenza è più grande ed eventualmente il comportamento sul bordo.
Intuitivamente mi aspetto che l'insieme dato da [tex]\{ \sqrt{n} - [ \sqrt{n} ], \ n \in \mathbb{N}^+ \}[/tex] sia denso in $[0,1]$, da cui seguirebbe che per $|z|>=1$ la serie non può convergere perchè il termine generale non risulterebbe infinitesimo.
E' vero, sono partita in quarta col metodo della radice e non ho controllato se era soddisfatta la condizione necessaria!
Grazie mille per l'aiuto
Grazie mille per l'aiuto
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