Serie di potenze formali

[ficus2002]

Sia $A=RR[[x]]$ l'anello delle serie di potenze formali nell'indeterminata $x$ a coefficienti in $RR$ e sia $f\in A$. Provare che se $f(x_0)=0$ con $x_0\in RR$ allora $x-x_0$ divide $f$ in $A$.

[Mistral2]

"ficus2002":Sia $A=RR[[x]]$ l'anello delle serie di potenze formali nell'indeterminata $x$ a coefficienti in $RR$ e sia $f\in A$. Provare che se $f(x_0)=0$ con $x_0\in RR$ allora $x-x_0$ divide $f$ in $A$.

Se $f(X)=sum_{n=0}^{infty} a_{n}X^{n}$ definiamo:

$f(X+Y)=sum_{n=0}^{infty}a_{n}(X+Y)^{n}=sum_{n=0}^{infty} Delta^{n}f(Y)X^{n}$ in particolare $Delta^{0} f(Y)=f(Y)$ quindi

$f(X)=f((X-Y)+Y)=sum_{n=0}^{infty} Delta^{n}f(Y)(X-Y)^{n}=f(Y)+sum_{n=1}^{infty} Delta^{n}f(Y)(X-Y)^{n}$

sostituendo ad $Y$ il valore $x_{0}$ si ha il risultato. Manca ancora qualche verifica formale ma dovrebbe essere la via giusta.

Saluti

Mistral

[ficus2002]

Ciao, cosa indichi con $\Delta^n f$?
Io pensavo di estendere la dimostrazione del teorema di ruffini nell'anello $RR[x]$ all'anello $RR[[x]]$.

[Mistral2]

"ficus2002":Ciao, cosa indichi con $\Delta^n f$?
Io pensavo di estendere la dimostrazione del teorema di ruffini nell'anello $RR[x]$ all'anello $RR[[x]]$.

$\Delta^n f$? è definito sviluppando i vari $(X+Y)^{k}$ con la formula del binomio e raccogliendo i coefficienti che moltiplicano $X^{n}$.

Se ci lavori un po' sopra viene fuori la seguente formula:

$Delta^{n}f(Y)=sum_{k}a_{n+k}{ (n+k)!}/{n!k!} Y^{k}$