[serie di potenze] dubbio esercizio e teoria
Ciao a tutti,
vorrei postarvi un esercizio che purtroppo non mi torna, dovrei calcolare la somma di questa serie:
$\sum_{n=1}^{+oo}\frac{x^{2n+3}}{n}$
cercando di ricollegarmi al logaritmo, ho posto $y=x^2$:
$x^3/2 \sum_{n=1}^{+oo}\frac{y^n}{n}=(x^3y)/2 \sum_{n=1}^{+oo}\frac{y^{n-1}}{n}$
ora applicando l'integrale alla serie, trovo la somma data dall'integrale della somma di serie geometrica:
$(x^3y)/2[\int \frac{1}{y(1-y)}dy]$ decompongo e trovo $A=1$ e $B=1$ da cui:
$(x^3y)/2[log(y)+log(1+y)]$ che poi in risostituendo $y$ ho:
$(x^5)/2[log(x^2)+log(1+x^2)]$
Però questo risultato non mi convince per niente per il fatto che:
1) dovrei sottrarre dalla serie il termine $a_0$ ma con $n=0$ il termine $a_0 -> +oo$
2)non sono sicuro del fatto che possa manipolarla in questa maniera
_______________
Altro dubbio concettuale:
sia $\sum_{n=0}^{+oo}a_nx^n$ una serie di potenze, allora tramite il teorema di d'Alembert siamo in grado di determinare il raggio di convergenza come limite $lim_{n->+oo}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=l$ e $R=1/l$
inoltre $a_n->0$ con $n->+oo$ ciò equivale a dire che $|x|<1$
supponiamo che si trovi attraverso il criterio del rapporto un Raggio $R>1$ ma debba essere soddisfatta la condizione anzidetta, l'intervallo di convergenza generale quale è? il più piccolo tra i 2?
vorrei postarvi un esercizio che purtroppo non mi torna, dovrei calcolare la somma di questa serie:
$\sum_{n=1}^{+oo}\frac{x^{2n+3}}{n}$
cercando di ricollegarmi al logaritmo, ho posto $y=x^2$:
$x^3/2 \sum_{n=1}^{+oo}\frac{y^n}{n}=(x^3y)/2 \sum_{n=1}^{+oo}\frac{y^{n-1}}{n}$
ora applicando l'integrale alla serie, trovo la somma data dall'integrale della somma di serie geometrica:
$(x^3y)/2[\int \frac{1}{y(1-y)}dy]$ decompongo e trovo $A=1$ e $B=1$ da cui:
$(x^3y)/2[log(y)+log(1+y)]$ che poi in risostituendo $y$ ho:
$(x^5)/2[log(x^2)+log(1+x^2)]$
Però questo risultato non mi convince per niente per il fatto che:
1) dovrei sottrarre dalla serie il termine $a_0$ ma con $n=0$ il termine $a_0 -> +oo$
2)non sono sicuro del fatto che possa manipolarla in questa maniera
_______________
Altro dubbio concettuale:
sia $\sum_{n=0}^{+oo}a_nx^n$ una serie di potenze, allora tramite il teorema di d'Alembert siamo in grado di determinare il raggio di convergenza come limite $lim_{n->+oo}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=l$ e $R=1/l$
inoltre $a_n->0$ con $n->+oo$ ciò equivale a dire che $|x|<1$
supponiamo che si trovi attraverso il criterio del rapporto un Raggio $R>1$ ma debba essere soddisfatta la condizione anzidetta, l'intervallo di convergenza generale quale è? il più piccolo tra i 2?
Risposte
"ELWOOD":
inoltre $a_n->0$ con $n->+oo$ ciò equivale a dire che $|x|<1$
supponiamo che si trovi attraverso il criterio del rapporto un Raggio $R>1$ ma debba essere soddisfatta la condizione anzidetta, l'intervallo di convergenza generale quale è? il più piccolo tra i 2?
Non si capisce il senso di ciò che hai scritto.
Quello che vorrei dire è che attraverso il criterio del rapporto su $a_n$ si possa trovare un raggio che non corrisponde alla condizione necessaria di convergenza su $x$
quindi mi chiedo attraverso quale dei 2 studi si identifica l'intervallo di convergenza della serie.
In soldoni se faccio $|x|<1$ trovo l'intervallo di appartenenza di $x$ in cui la serie converge, ma se faccio il criterio del rapporto su $a_n$ è possibile che mi trovi un raggio (e quindi un intervallo di convergenza) che differisce dalla condizione anzidetta, quale tra i 2 accetterò?
quindi mi chiedo attraverso quale dei 2 studi si identifica l'intervallo di convergenza della serie.
In soldoni se faccio $|x|<1$ trovo l'intervallo di appartenenza di $x$ in cui la serie converge, ma se faccio il criterio del rapporto su $a_n$ è possibile che mi trovi un raggio (e quindi un intervallo di convergenza) che differisce dalla condizione anzidetta, quale tra i 2 accetterò?
Hai molta confusione mi sembra (e ancora credo di non aver afferrato il tuo discorso...).
Perché dovresti fare $|x|< 1$?
Perché dovresti fare $|x|< 1$?
Condizione necessaria di convergenza è che i termini generali tendano a zero con $n->+oo$ pertanto se $\sum_{n=0}^{+oo} a_nx^n$ è la serie di potenze, l'ipotesi è verificata ponendo $|x|<1$
Ti provo a fare un'esempio
Supponendo di avere
$\sum_{n=0}^{+oo} \frac{n+1}{3n-1}(3x)^n$
allora dal th. del rapporto trovo che $lim_{n->oo}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=1$ da cui $R=1$
ma poi devo verificare la condizione $|3x|<1$ da cui $-1/3
allora vorrei capire quali dei due insiemi di convergenza sono validi
Ps: non vorrei che siano uguali per il fatto che $1/3-(-1/3)=1$ che sia questa banalità...
Ti provo a fare un'esempio
Supponendo di avere
$\sum_{n=0}^{+oo} \frac{n+1}{3n-1}(3x)^n$
allora dal th. del rapporto trovo che $lim_{n->oo}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=1$ da cui $R=1$
ma poi devo verificare la condizione $|3x|<1$ da cui $-1/3
allora vorrei capire quali dei due insiemi di convergenza sono validi
Ps: non vorrei che siano uguali per il fatto che $1/3-(-1/3)=1$ che sia questa banalità...
Veramente ciò che hai scritto non è vero. Prendi ad esempio la serie $sum_(n = 0)^(+oo) n! * x^n$.
Questa si guarda bene dall'essere convergente nell'intervallo $(-1 , 1)$...
Dipende tutto da com'è fatto $a_n$.
Volendo fare le cose per bene, per introdurre il raggio di convergenza, potresti dimostri che l'insieme di convergenza è un intervallo (eventualmente ridotto ad un punto) e poi definire:
$R = "sup"_(x in RR) { |x| : sum_(n=0)^(+oo) a_n x^n < +oo }$.
Oppure puoi prendere come definizione $1/R = max lim_n ( |a_n| )^(1/n)$.
__________
Fermo restando quanto ho scritto, il raggio della serie che hai posto come esempio è $1/3$. Infatti, per applicare il teorema del limite del rapporto, dovresti avere un'espressione formale del tipo $sum_(n = 0)^(+oo) a_n y^n$, a cui puoi facilmente ricondurti con il cambio di variabile $y = 3x$; epperò, avendo calcolato il raggio di convergenza per quest'ultima serie di potenze in $y$, quello della serie di potenze da cui eri partito si ottiene considerando la "trasformazione" $y = 3x$.
Questa si guarda bene dall'essere convergente nell'intervallo $(-1 , 1)$...
Dipende tutto da com'è fatto $a_n$.
Volendo fare le cose per bene, per introdurre il raggio di convergenza, potresti dimostri che l'insieme di convergenza è un intervallo (eventualmente ridotto ad un punto) e poi definire:
$R = "sup"_(x in RR) { |x| : sum_(n=0)^(+oo) a_n x^n < +oo }$.
Oppure puoi prendere come definizione $1/R = max lim_n ( |a_n| )^(1/n)$.
__________
Fermo restando quanto ho scritto, il raggio della serie che hai posto come esempio è $1/3$. Infatti, per applicare il teorema del limite del rapporto, dovresti avere un'espressione formale del tipo $sum_(n = 0)^(+oo) a_n y^n$, a cui puoi facilmente ricondurti con il cambio di variabile $y = 3x$; epperò, avendo calcolato il raggio di convergenza per quest'ultima serie di potenze in $y$, quello della serie di potenze da cui eri partito si ottiene considerando la "trasformazione" $y = 3x$.
Ti ringrazio delle delucidazioni, però ancora non capisco il fatto che col limite del rapporto si sia trovato il raggio $R=1$ mentre poi quando verifico la relazione sul termine $x^n$ mi esce $|x|<1/3$
allora dei 2 il raggio qual è?
Provo a rispondermi: Il raggio è $R=1$ ma vi è una restrizione più forte sull'intervallo di convergenza, per cui $R=1/3$....può andare?
allora dei 2 il raggio qual è?
Provo a rispondermi: Il raggio è $R=1$ ma vi è una restrizione più forte sull'intervallo di convergenza, per cui $R=1/3$....può andare?
Assolutamente no. Il teorema che stai usando è chiaro: se il limite di quel rapporto esiste, quello è $R$, cioè il superiore dell'insieme dei valori assoluti dei numeri reali per cui la serie è convergente (ti invito a ragionare anche sulla definizione di raggio di convergenza).
Le altre considerazioni, come per esempio la condizione necessaria per la convergenza della serie che vuoi usare, ti mandano fuori dal seminato (ricordati comunque che è una condizione che deve valere per l'intero termine generale $a_n x^n$ e non solo per la potenza $x^n$).
Controllare per quali $x$ la successione $x^n$ è infinitesima non ti suggerisce niente di niente sul comportamento della serie $sum a_n x^n$, con $a_n in RR$ successione assegnata qualsiasi.
Il motivo per cui il raggio è $1/3$ è quello che ti ho spiegato. E' come se tu avessi applicato il teo. di D'Alambert alla serie
$sum_(n=0)^(+oo) (n + 1)/(3 n - 1 ) y^n$ ... Con una semplice trasformazione ($y = 3x$) ti poni nella situazione giusta per risalire al raggio di convergenza di $sum_(n=0)^(+oo) (n + 1)/(3 n - 1 ) (3x)^n$.
Le altre considerazioni, come per esempio la condizione necessaria per la convergenza della serie che vuoi usare, ti mandano fuori dal seminato (ricordati comunque che è una condizione che deve valere per l'intero termine generale $a_n x^n$ e non solo per la potenza $x^n$).
Controllare per quali $x$ la successione $x^n$ è infinitesima non ti suggerisce niente di niente sul comportamento della serie $sum a_n x^n$, con $a_n in RR$ successione assegnata qualsiasi.
Il motivo per cui il raggio è $1/3$ è quello che ti ho spiegato. E' come se tu avessi applicato il teo. di D'Alambert alla serie
$sum_(n=0)^(+oo) (n + 1)/(3 n - 1 ) y^n$ ... Con una semplice trasformazione ($y = 3x$) ti poni nella situazione giusta per risalire al raggio di convergenza di $sum_(n=0)^(+oo) (n + 1)/(3 n - 1 ) (3x)^n$.
Precisazione: Se hai la serie $sum_(n=0)^(+oo) a_n x^n$, allora il suo raggio di convergenza si può ottenere dalla:
Devi notare due cose:
1) Per usare questa formula, così come per usare quella del rapporto (sono imparentate) deve esserci $x^n$ (non $(4x)^n$ o $(x/3 + 1)^n$ , ... ).
2) Il raggio di convergenza dipende solo da come è fatta $a_n$ .
"Seneca":
$1/R = max lim_n ( |a_n| )^(1/n)$.
Devi notare due cose:
1) Per usare questa formula, così come per usare quella del rapporto (sono imparentate) deve esserci $x^n$ (non $(4x)^n$ o $(x/3 + 1)^n$ , ... ).
2) Il raggio di convergenza dipende solo da come è fatta $a_n$ .
"Seneca":
(ricordati comunque che è una condizione che deve valere per l'intero termine generale $a_n x^n$ e non solo per la potenza $x^n$).
Allora io sbagliavo proprio nella determinazione del raggio col limite del rapporto!
Il termine $a_n$ non è $ \frac{n+1}{3n-1}$ ma bensì $a_n=\frac{n+1}{3n-1}3^n$ da cui$lim_{n->oo}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=1/3$
ci sono?
Ci sei, esatto.
Ti ringrazio, sei stato molto gentile....per quanto riguarda il primo esercizio che cosa "canno"?
Caro Seneca forse ci sono arrivato,
$\sum_{n=1}^{+oo} \frac{x^{2n+3}}{2n}=x^3/2 \sum_{n=1}^{+oo} \frac{x^{2n}}{n}$
potrei porre il cambio di variabili $y=x^2$ e $k=n+1$ ottenendo:
$x^3/2 \sum_{k=0}^{+oo} \frac{y^{n+1}}{n+1}$ e per la somma:
$x^3/2 [\int \frac{1}{1-y}dy]=-x^3/2 log(1-y)$ e risostituendo ottengo il risultato finale:
$\sum_{n=1}^{+oo} \frac{x^{2n+3}}{2n}=-x^3/2 log(1-x^2)$
può andare?
$\sum_{n=1}^{+oo} \frac{x^{2n+3}}{2n}=x^3/2 \sum_{n=1}^{+oo} \frac{x^{2n}}{n}$
potrei porre il cambio di variabili $y=x^2$ e $k=n+1$ ottenendo:
$x^3/2 \sum_{k=0}^{+oo} \frac{y^{n+1}}{n+1}$ e per la somma:
$x^3/2 [\int \frac{1}{1-y}dy]=-x^3/2 log(1-y)$ e risostituendo ottengo il risultato finale:
$\sum_{n=1}^{+oo} \frac{x^{2n+3}}{2n}=-x^3/2 log(1-x^2)$
può andare?
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