Serie di potenze-convergenza uniforme e semplice
Ciao ragazzi, il quesito di oggi è davvero difficile, almeno per me!
Studiare la convergenza semplice ed uniforme della serie di potenze
$sum_(n=0)^(infty) ((n+1)^(alpha)-n^(alpha))x^n, alpha in R$
non so quale strada prendere.
Studiare la convergenza semplice ed uniforme della serie di potenze
$sum_(n=0)^(infty) ((n+1)^(alpha)-n^(alpha))x^n, alpha in R$
non so quale strada prendere.
Risposte
Ma guarda che 1) il teorema del marchese non si applica alle successioni e 2) se \(\alpha\) non è intero non ha proprio alcun senso dire "applico il teorema \(\alpha\) volte".
Per sciogliere la forma indeterminata, basta mettere in evodenza \(n^\alpha\) al numeratore, \((n-1)^\alpha\) al denominatore ed applicare un noto limite notevole.
Per sciogliere la forma indeterminata, basta mettere in evodenza \(n^\alpha\) al numeratore, \((n-1)^\alpha\) al denominatore ed applicare un noto limite notevole.
Quindi il ragionamento che avevo postato è fattibile esclusivamente se α∈N. Grazie gugo sei un faro nella notte!
Applicando il criterio del rapporto trovi:
\[
\begin{split}
\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|} &= \frac{|(n+2)^\alpha -(n+1)^\alpha|}{|(n+1)^\alpha - n^\alpha|}\\
&= \frac{(n+1)^\alpha}{n^\alpha}\ \frac{\frac{(n+2)^\alpha}{(n+1)^\alpha} - 1}{\frac{(n+1)^\alpha}{n^\alpha} -1 }\\
&= \left( 1+ \frac{1}{n}\right)^\alpha \ \frac{\left( 1+ \frac{1}{n+1} \right)^\alpha - 1}{ \left( 1+ \frac{1}{n}\right)^\alpha -1 }\; ;
\end{split}
\]
ricordata la nota equivalenza asintotica \((1+x)^\alpha \approx 1+ \alpha x\) valida per \(x\to 0\), dalla precedente segue:
\[
\begin{split}
\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|} &\approx \left( 1+\frac{\alpha}{n}\right)\ \frac{\frac{\alpha}{n+1}}{\frac{\alpha}{n}}\\
&= \left( 1+\frac{\alpha}{n}\right)\ \frac{n}{n+1}
\end{split}
\]
per \(n\to \infty\), ed il raggio di convergenza è bello e fatto...
\[
\begin{split}
\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|} &= \frac{|(n+2)^\alpha -(n+1)^\alpha|}{|(n+1)^\alpha - n^\alpha|}\\
&= \frac{(n+1)^\alpha}{n^\alpha}\ \frac{\frac{(n+2)^\alpha}{(n+1)^\alpha} - 1}{\frac{(n+1)^\alpha}{n^\alpha} -1 }\\
&= \left( 1+ \frac{1}{n}\right)^\alpha \ \frac{\left( 1+ \frac{1}{n+1} \right)^\alpha - 1}{ \left( 1+ \frac{1}{n}\right)^\alpha -1 }\; ;
\end{split}
\]
ricordata la nota equivalenza asintotica \((1+x)^\alpha \approx 1+ \alpha x\) valida per \(x\to 0\), dalla precedente segue:
\[
\begin{split}
\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|} &\approx \left( 1+\frac{\alpha}{n}\right)\ \frac{\frac{\alpha}{n+1}}{\frac{\alpha}{n}}\\
&= \left( 1+\frac{\alpha}{n}\right)\ \frac{n}{n+1}
\end{split}
\]
per \(n\to \infty\), ed il raggio di convergenza è bello e fatto...
scusami gugo82 ho notato che per risolvere il carattere di convergenza delle serie di potenze si ricorre spesso a queste equivalenze asintotiche, in pratica si tratta di applicare macLaurin, oppure esiste anche una tabella riassuntiva di equivalenze asintotiche notevoli. Non si tratta di prendere i limiti notevoli dell'analisi I e applicarli , il discorso qui mi sembra ben più complesso.
Ho trovato in rete questo articolo, che tratta dello sviluppo di funzioni in successioni,
https://docs.google.com/viewer?url=http ... pisucc.pdf
adesso non mi resta che capire a che termine troncare la successione...esiste una regola generale?
https://docs.google.com/viewer?url=http ... pisucc.pdf
adesso non mi resta che capire a che termine troncare la successione...esiste una regola generale?
@ IntoTheWild: Questi sono strumenti che dovresti saper maneggiare da Analisi I.
Insomma, ti dovrebbe esserti già abbondantemente noto che è possibile usare la serie di Taylor per stabilire delle equivalenze asintotiche da applicare al calcolo dei limiti (di funzioni e di successioni).
Per quel che riguarda regole generali: no, non ne esistono.
Insomma, ti dovrebbe esserti già abbondantemente noto che è possibile usare la serie di Taylor per stabilire delle equivalenze asintotiche da applicare al calcolo dei limiti (di funzioni e di successioni).
Per quel che riguarda regole generali: no, non ne esistono.
Mi dispiace di averti fatto perdere tempo...vado a studiare!
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