Serie di potenze, convergenza puntuale-assoluta-uniforme
Buongiorno a tutti,
avrei un dubbio sulle serie di potenze e nello specifico su come verificare i vari tipi di convergenza.
Potete dirmi se il mio ragionamento è corretto?
prendo una serie qualsiasi come esempio.
$ sum_(n =1) 3^n/(n+3)*x^n $
utilizzando il criterio della radice posso andare facilmente a calcolarmi il raggio di convergenza \(\displaystyle R \) che sarà $ 1/3 $
a questo punto vado a verificare il comportamento della serie per $ x=+- 1/3 $
per $ x=1/3 $ trovo $ sum_(n =1) 1/(n+3) $ che ovviamente diverge
mentre per $ x=-1/3 $ trovo $ sum_(n=1) (-1)^n 1/(n+3) $ che ovviamente per il criterio di Leibniz converge
trovo quindi che la serie converge puntualmente in $[-1/3, 1/3) $
1 dubbio) io qui sto calcolando la convergenza puntuale e quindi NON posso usare il criterio della convergenza assoluta perché lo uso solo quando cerco di calcolare l'insieme di convergenza assoluto. Quindi per la convergenza puntuale uso Leibniz. giusto?
ora trovo la convergenza assoluta e quindi uso il che mi riduce il mio intervallo a $ (-1/3, 1/3) $
Ho applicato il criterio della convergenza assoluta andando a calcolare il valore assoluto della serie per quanto riguarda $ x= -1/3 $ ottenendo la serie $ sum_(n =1) 1/(n+3) $ che ovviamente diverge e quindi l'estremo non è compreso. per $x=1/3 $ non ha neanche senso calcolarlo perché non convergendo puntualmente è impossibile che converga assolutamente.
Come faccio invece a calcolare la convergenza uniforme?
grazie mille
avrei un dubbio sulle serie di potenze e nello specifico su come verificare i vari tipi di convergenza.
Potete dirmi se il mio ragionamento è corretto?
prendo una serie qualsiasi come esempio.
$ sum_(n =1) 3^n/(n+3)*x^n $
utilizzando il criterio della radice posso andare facilmente a calcolarmi il raggio di convergenza \(\displaystyle R \) che sarà $ 1/3 $
a questo punto vado a verificare il comportamento della serie per $ x=+- 1/3 $
per $ x=1/3 $ trovo $ sum_(n =1) 1/(n+3) $ che ovviamente diverge
mentre per $ x=-1/3 $ trovo $ sum_(n=1) (-1)^n 1/(n+3) $ che ovviamente per il criterio di Leibniz converge
trovo quindi che la serie converge puntualmente in $[-1/3, 1/3) $
1 dubbio) io qui sto calcolando la convergenza puntuale e quindi NON posso usare il criterio della convergenza assoluta perché lo uso solo quando cerco di calcolare l'insieme di convergenza assoluto. Quindi per la convergenza puntuale uso Leibniz. giusto?
ora trovo la convergenza assoluta e quindi uso il che mi riduce il mio intervallo a $ (-1/3, 1/3) $
Ho applicato il criterio della convergenza assoluta andando a calcolare il valore assoluto della serie per quanto riguarda $ x= -1/3 $ ottenendo la serie $ sum_(n =1) 1/(n+3) $ che ovviamente diverge e quindi l'estremo non è compreso. per $x=1/3 $ non ha neanche senso calcolarlo perché non convergendo puntualmente è impossibile che converga assolutamente.
Come faccio invece a calcolare la convergenza uniforme?
grazie mille
Risposte
Per il teorema di Abel la tua serie converge uniformemente in ogni intervallo chiuso e limitato contenuto in $(-1/3;1/3]$.
grazie mille, e per il resto invece è giusto?
per quanto riguarda la convergenza uniforme vediamo se ho capito, per il teorema di Abel posso dire che
$ |x-x{::}_(0)|< rho $ con $ 0 \leq rho \leq 1/3 $
e quindi essendo in questo caso $ x{::}_(0) = 0 $ posso dire che converge uniformemente in $ (-1/3, 1/3] $
corretto?
$ |x-x{::}_(0)|< rho $ con $ 0 \leq rho \leq 1/3 $
e quindi essendo in questo caso $ x{::}_(0) = 0 $ posso dire che converge uniformemente in $ (-1/3, 1/3] $
corretto?
Il resto mi sembra giusto, si!
grazie mille 
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