Serie di potenze con dominio
ciao ragazzi mi sono sorti alcuni dubbi su questa serie
$sum ((n^2+2)/n^2)^(n^2) x^n$
Ho calcolato il raggio usando la radice --
$sum [sqrt((n^2+2)^2/n^4)^(n) ]$ quindi l'ordine è lo stesso il limite vale 1.
Per cui mi trovo il raggio che è 1.
Per il dominio di convergenza $-1<|x|<1$
Quindi per $x=-1$ abbiamo una serie a segni alterni che non rispetta il criterio di Leibniz, quindi non rispetta la condizione di convergenza.
Per x=1
$sum ((n^2+2)/n^2)^(n^2)$
In questo caso con la radice applicata all'inizio i limite vale 1 .. per cui devo escludere questo criterio giusto?
Arrivo al rapporto.. dove il limite è del tipo $[1^(oo)]$ non penso sia applicabile.
allora ho applicato il confonto scomponendo il limite in
$[1+ (4n^2+4/n^4)]^n$
ora andando a fare il limite
$lim n->oo (4n^2/n^4)^n$ non riesco a giungere a conclusione
sbaglio qualcosa?
$sum ((n^2+2)/n^2)^(n^2) x^n$
Ho calcolato il raggio usando la radice --
$sum [sqrt((n^2+2)^2/n^4)^(n) ]$ quindi l'ordine è lo stesso il limite vale 1.
Per cui mi trovo il raggio che è 1.
Per il dominio di convergenza $-1<|x|<1$
Quindi per $x=-1$ abbiamo una serie a segni alterni che non rispetta il criterio di Leibniz, quindi non rispetta la condizione di convergenza.
Per x=1
$sum ((n^2+2)/n^2)^(n^2)$
In questo caso con la radice applicata all'inizio i limite vale 1 .. per cui devo escludere questo criterio giusto?
Arrivo al rapporto.. dove il limite è del tipo $[1^(oo)]$ non penso sia applicabile.
allora ho applicato il confonto scomponendo il limite in
$[1+ (4n^2+4/n^4)]^n$
ora andando a fare il limite
$lim n->oo (4n^2/n^4)^n$ non riesco a giungere a conclusione
sbaglio qualcosa?
Risposte
non so se quello che sto per dirti sia corretto o meno. premesso ciò per valutare la serie in x=1 ricorrerei al criterio asintotico con la funzione $ e^(n^2 2/n^2)=e^2 $ per cui mi verrebbe da dire che diverge perchè il termine generale non è infinitesimo.
Pero il confronto da informazioni solo a $oo$ che diverge
e a 0 che converge..
tra $0$ e $oo$ dice che $sum an$ e $sum bn$ hanno lo stesso carattere
per questo mi ha spiazzato questo esercizio..
con il limite mi trovo
e a 0 che converge..
tra $0$ e $oo$ dice che $sum an$ e $sum bn$ hanno lo stesso carattere
per questo mi ha spiazzato questo esercizio.. con il limite mi trovo
ciao,
ma per la serie che ottieni per $x=1$ secondo me si verifica velocemente che la condizione necessaria di convergenza non è verificata...
ossia: $((n^2+2)/n^2)^(n^2)$, può essere ricondotto a un limite della forma $n^n = e^{nlog(n)}$ (tipico caso di forma indeterminata $1^{\infty}$)...
Facendo il limite per $n->+\infty$ vedi subito che tende a $e^2$, pertanto non è soddisfatta la condizione necessaria...
ma per la serie che ottieni per $x=1$ secondo me si verifica velocemente che la condizione necessaria di convergenza non è verificata...
ossia: $((n^2+2)/n^2)^(n^2)$, può essere ricondotto a un limite della forma $n^n = e^{nlog(n)}$ (tipico caso di forma indeterminata $1^{\infty}$)...
Facendo il limite per $n->+\infty$ vedi subito che tende a $e^2$, pertanto non è soddisfatta la condizione necessaria...
Per essere soddisfatta dal limite doveva venire fuori zero giusto? (criterio confronto ) e l'esponenziale è sempre diverso giusto?
Condizione necessaria perchè una serie converga è che il limite per n che tende a infinite del sup termine generale sia infinitesimo. Questa non converge proprio, perché $a_{n}$ non è infinitesimo.
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