Serie di potenze con coefficienti dati
Salve a tutti!
Ho un intoppo nel risolvere questo esercizio.
Sia data la serie di potenze:
$ \sum_{k=0}^{\infty}(k+1)^{j+1}(a_{k})^{j}x^{k} $
dove i coefficienti $ a_{k} $ sono dati dalla relazione:
$ e^x=\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}\frac{3(k+1)^3}{(k+2)k!}x^k $
Posto $ j=0 $, calcolare il raggio di convergenza e insieme di convergenza puntuale.
Posto $ j=1 $, calcolare solamente il raggio di convergenza.
Il problema che mi impedisce di risolvere tale esercizio è che non so quale criterio utilizzare per associare un valore a $ a_{k} $.
Vedendo la presenza del fattoriale, suppongo che debba trovare un'altra forma alla relazione, in modo da riuscire ad isolare $ a_{k} $ e poi sostituirlo nella serie di potenze data. Sapete spiegarmi, inoltre, cosa significa geometricamente parlando che una funzione equivale ad una serie? (non riesco ad immaginarmi un'esponenziale descritta da una serie)
Comunque, una volta trovato $ a_{k} $, lo svolgimento dell'esercizio dovrebbe essere in discesa (si stabilisce, al variare di $ j $, quanto valgono i rispettivi raggi di convergenza, utilizzando "l'inverso del criterio del rapporto o della radice", ovvero $ \frac{1}{R}=... $).
Ho un intoppo nel risolvere questo esercizio.
Sia data la serie di potenze:
$ \sum_{k=0}^{\infty}(k+1)^{j+1}(a_{k})^{j}x^{k} $
dove i coefficienti $ a_{k} $ sono dati dalla relazione:
$ e^x=\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}\frac{3(k+1)^3}{(k+2)k!}x^k $
Posto $ j=0 $, calcolare il raggio di convergenza e insieme di convergenza puntuale.
Posto $ j=1 $, calcolare solamente il raggio di convergenza.
Il problema che mi impedisce di risolvere tale esercizio è che non so quale criterio utilizzare per associare un valore a $ a_{k} $.
Vedendo la presenza del fattoriale, suppongo che debba trovare un'altra forma alla relazione, in modo da riuscire ad isolare $ a_{k} $ e poi sostituirlo nella serie di potenze data. Sapete spiegarmi, inoltre, cosa significa geometricamente parlando che una funzione equivale ad una serie? (non riesco ad immaginarmi un'esponenziale descritta da una serie)
Comunque, una volta trovato $ a_{k} $, lo svolgimento dell'esercizio dovrebbe essere in discesa (si stabilisce, al variare di $ j $, quanto valgono i rispettivi raggi di convergenza, utilizzando "l'inverso del criterio del rapporto o della radice", ovvero $ \frac{1}{R}=... $).
Risposte
"Anulu":
Sapete spiegarmi, inoltre, cosa significa geometricamente parlando che una funzione equivale ad una serie
non direi geometricamente,
non hai studiato lo sviluppo in serie di Mac Laurin della funzione $y=e^x$
Eh infatti. Girando su internet sono arrivato a conoscenza di tale sviluppo (fuori dal mio programma di analisi 2 e analisi 1) e credo, quindi, di aver risolto l'esercizio, sostituendo la funzione esponenziale con il proprio sviluppo, nella relazione data.
Sembra molto semplice, ma, se qualcuno volesse comunque dilettarsi nella soluzione, mi sarebbe lo stesso di aiuto, così posso confrontare la mia di soluzione
Sembra molto semplice, ma, se qualcuno volesse comunque dilettarsi nella soluzione, mi sarebbe lo stesso di aiuto, così posso confrontare la mia di soluzione
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