Serie di potenze complesse

[gbspeedy]

per trovare il raggio di convergenza di $sum_(n=0)^(+oo) (n!)/n^n z^n$ calcolo $lim_(n -> -oo )|a_(n+1)/(a_n)|$ con $a_n=(n!)/(n^n)$ (R=e)
ma se ho $sum_(n=0)^(+oo) n^n z^(n!)$?

[gbspeedy]

ho pensato di applicare il criterio della radice
$lim_(n->+oo) root(n)(n^n z^(n!))=lim_(n->+oo) n z^((n-1)!)$
ora se $|z|>=1$ il limite è $+oo$ mentre per $|z|<1$ è 0
ma cosa posso dire del raggio di convergenza?

[gugo82]

Per la serie \(\sum_{n=0}^\infty n^n\ z^{n!}\) sono possibili due strade.

O la riguardi come serie complessa con parametro con \(c_n(z)=n^n\ z^{n!}\) ed applichi il criterio del rapporto per stabilire dove converge.

Oppure, se vuoi riguardarla come serie di potenze \(\sum_k a_k\ z^k\), devi tenere presente che i coefficienti sono:
\[
a_k= \begin{cases} n^n &\text{, se } k=n! \\ 0 &\text{, altrimenti}\end{cases}
\]
e devi applicare il criterio di Cauchy-Hadamard per determinare il raggio di convergenza, cioè devi calcolare il \(\operatorname{maxlim}_k \sqrt[k]{|a_k|}\).

[gbspeedy]

se la guardo nel primo modo converge se $|z|<1$
nel secondo caso devo calcolare $maxlim n^(n/(n!))$?

[gugo82]

Nel secondo caso ragioni come segue: innanzitutto formi la successione \(\sqrt[k]{|a_k|}\) che è:
\[
\sqrt[k]{|a_k|} = \begin{cases} n^{n/n!} &\text{, se } k=n!\\ 0 &\text{, altrimenti}\end{cases} = \begin{cases} n^{1/(n-1)!} &\text{, se } k=n!\\ 0 &\text{, altrimenti}\end{cases}
\]
e poi noti che:
\[
\operatorname{maxlim}_k \sqrt[k]{|a_k|} = \max \left\{ 0, \operatorname{maxlim}_n n^{1/(n-1)!}\right\}\; ,
\]
di modo che ti basta calcolare \(\operatorname{maxlim}_n n^{1/(n-1)!}\).

[gbspeedy]

il $maxlim$ è uguale a 1 e quindi il raggio di convergenza è 1.
se fosse venuto 2 il raggio di convergenza è $1/2$?

[gugo82]

Esatto.