Serie di potenze complesse
Ho un po' di confusione.
Da quanto ho capito bene o male si comportano come le serie di potenze in campo reale.
Io ho questa serie: $\sum_{n=0}^\infty 4^n(z+3)^(4n)$ dove ci devo trovare il centro, il raggio di convergenza e la somma della serie.
Dunque per il raggio oserei dire che sia $3^4$ siccome nella formula generica $\sum_{n=0}^\infty a_n(z-z_o)^n$, $z_0$ è il centro.
E di conseguenza, visto che ho un esponente alla 4n, direi appunto che il raggio è $3^4$
Per quanto riguarda il raggio, se fosse stato in campo reale, io avrei posto $y=(z+3)^4$ e avrei guardato il comportamento della serie. In questo caso, siccome resta $4^n$, farei:
$\lim_{n \to \infty}(4^n)^(1/n)$ e quindi la serie $\sum_{n=0}^\infty 4^ny^n$ ha raggio $1/4$
Infine, la somma della serie, non le ho mai capite neanche in analisi 2...Azzarderei di dover partire dalla serie esponenziale visto il $4^n$ ma mi sa di boiata.
Le cose che ho detto, hanno un senso (e magari sono giuste) o sono delle gran cazzate?
Da quanto ho capito bene o male si comportano come le serie di potenze in campo reale.
Io ho questa serie: $\sum_{n=0}^\infty 4^n(z+3)^(4n)$ dove ci devo trovare il centro, il raggio di convergenza e la somma della serie.
Dunque per il raggio oserei dire che sia $3^4$ siccome nella formula generica $\sum_{n=0}^\infty a_n(z-z_o)^n$, $z_0$ è il centro.
E di conseguenza, visto che ho un esponente alla 4n, direi appunto che il raggio è $3^4$
Per quanto riguarda il raggio, se fosse stato in campo reale, io avrei posto $y=(z+3)^4$ e avrei guardato il comportamento della serie. In questo caso, siccome resta $4^n$, farei:
$\lim_{n \to \infty}(4^n)^(1/n)$ e quindi la serie $\sum_{n=0}^\infty 4^ny^n$ ha raggio $1/4$
Infine, la somma della serie, non le ho mai capite neanche in analisi 2...Azzarderei di dover partire dalla serie esponenziale visto il $4^n$ ma mi sa di boiata.
Le cose che ho detto, hanno un senso (e magari sono giuste) o sono delle gran cazzate?
Risposte
"Shika93":
Da quanto ho capito bene o male si comportano come le serie di potenze in campo reale.
Con le dovute precauzioni, direi di sì
"Shika93":
Per quanto riguarda il raggio, se fosse stato in campo reale, io avrei posto $y=(z+3)^4$ e avrei guardato il comportamento della serie. In questo caso, siccome resta $4^n$, farei:
$\lim_{n \to \infty}(4^n)^(1/n)$ e quindi la serie $\sum_{n=0}^\infty 4^ny^n$ ha raggio $1/4$
Ecco, dici che le serie di potenze in campo complesso bene o male si comportano alla stessa maniera (valgono teoremi analoghi) e poi le tratti in maniera completamente diversa.
Il ragionamento che fai in campo reale mi convince, puntualizzando però che quello è il raggio di convergenza sull'asse $y$. Ovviamente sull'asse $x$ il raggio sarà \( \sqrt[4]{\frac{1}{4}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \), centrato in \(x_0=-3\).
Tornando all'analisi della tua serie, io avrei proceduto così:
\(\displaystyle
\sum_{n=0}^{\infty} 4^n(z+3)^{4n} = \sum_{n=0}^{\infty} \left(4(z+3)^4\right)^n
\),
\sum_{n=0}^{\infty} 4^n(z+3)^{4n} = \sum_{n=0}^{\infty} \left(4(z+3)^4\right)^n
\),
quest'ultima è una serie geometrica, ed ovviamente converge per \(\left|4(z+3)^4\right|<1 \).
\(\displaystyle
\left|4(z+3)^4\right|<1 \quad \rightarrow\quad 4\left|(z+3)^4\right|<1 \quad\rightarrow\quad \left|(z+3)^4\right|<\frac{1}{4} \quad\rightarrow
\)
\left|4(z+3)^4\right|<1 \quad \rightarrow\quad 4\left|(z+3)^4\right|<1 \quad\rightarrow\quad \left|(z+3)^4\right|<\frac{1}{4} \quad\rightarrow
\)
\(\displaystyle
\left|(z+3)^4\right|<\frac{1}{4} \quad\rightarrow\quad \left|(z+3)\right|^4<\frac{1}{4} \quad\rightarrow\quad \left|(z+3)\right|<\frac{1}{\sqrt{2}}
\).
\left|(z+3)^4\right|<\frac{1}{4} \quad\rightarrow\quad \left|(z+3)\right|^4<\frac{1}{4} \quad\rightarrow\quad \left|(z+3)\right|<\frac{1}{\sqrt{2}}
\).
Ponendo \(z=x+iy\):
\(\displaystyle
\left|(z+3)\right|<\frac{1}{\sqrt{2}} \rightarrow (x+3)^2+y^2<\frac{1}{2}
\),
\left|(z+3)\right|<\frac{1}{\sqrt{2}} \rightarrow (x+3)^2+y^2<\frac{1}{2}
\),
che nel piano complesso è l'equazione di un cerchio di centro \(z_0=-3\) e raggio \(\frac{1}{\sqrt{2}}\).
Per quanto riguarda la somma, considera che è sempre una serie geometrica e vale la solita formula.
Non ho capito da quando hai posto $z=x+iy$
Come fa a venire $(x+3)^2+y^2$? E perchè il centro è $-3$?
Ecco, dici che le serie di potenze in campo complesso bene o male si comportano alla stessa maniera (valgono teoremi analoghi) e poi le tratti in maniera completamente diversa.
Il ragionamento che fai in campo reale mi convince, puntualizzando però che quello è il raggio di convergenza sull'asse $y$. Ovviamente sull'asse $x$ il raggio sarà \( \sqrt[4]{\frac{1}{4}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \), centrato in \(x_0=-3\).
[/quote]
Uguale qui.
Perchè devo fare la radice quarta? E il centro come l'hai determinato? Devo fare il disegno per dirlo?
La somma di una serie geometrica è $1/(1-x)$
Mi da fastidio quell'esponente $n$ quindi posso fare la radice ennesima della serie per toglierlo?
Se si, la somma verrebbe
$1/(1-(z+3)^4)$? e quindi $1/(-z^4-12z-80)$?
Come fa a venire $(x+3)^2+y^2$? E perchè il centro è $-3$?
"Whisky84":
[quote="Shika93"]
Per quanto riguarda il raggio, se fosse stato in campo reale, io avrei posto $y=(z+3)^4$ e avrei guardato il comportamento della serie. In questo caso, siccome resta $4^n$, farei:
$\lim_{n \to \infty}(4^n)^(1/n)$ e quindi la serie $\sum_{n=0}^\infty 4^ny^n$ ha raggio $1/4$
Ecco, dici che le serie di potenze in campo complesso bene o male si comportano alla stessa maniera (valgono teoremi analoghi) e poi le tratti in maniera completamente diversa.
Il ragionamento che fai in campo reale mi convince, puntualizzando però che quello è il raggio di convergenza sull'asse $y$. Ovviamente sull'asse $x$ il raggio sarà \( \sqrt[4]{\frac{1}{4}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \), centrato in \(x_0=-3\).
[/quote]
Uguale qui.
Perchè devo fare la radice quarta? E il centro come l'hai determinato? Devo fare il disegno per dirlo?
La somma di una serie geometrica è $1/(1-x)$
Mi da fastidio quell'esponente $n$ quindi posso fare la radice ennesima della serie per toglierlo?
Se si, la somma verrebbe
$1/(1-(z+3)^4)$? e quindi $1/(-z^4-12z-80)$?
"Shika93":
Non ho capito da quando hai posto $z=x+iy$
Come fa a venire $(x+3)^2+y^2$? E perchè il centro è $-3$?
Allora, è chiaro perché al posto di $z$ ho messo $x+iy$? Ho solo scritto quella quantità complessa in forma algebrica!
Poi, quell'equazione viene perché ovviamente in campo complesso $|\cdot|$ non è il valore assoluto, ma il modulo! (Si indicano con lo stesso simbolo perché sono "parenti strette strette strette", per dirla in termini semplici). Ti ricordo che dato un numero complesso $z=x+iy$ si ha:
\(\displaystyle
\left| z \right| = \left|x+iy\right| = \sqrt{x^2 + y^2}
\).
\left| z \right| = \left|x+iy\right| = \sqrt{x^2 + y^2}
\).
Infine, l'equazione che ho ottenuto è un'equazione di una circonferenza di centro $(-3,0)$ e raggio $\frac{1}{\sqrt{2}}$, dovrebbe essere un risultato noto sin dalle scuole superiori.
"Shika93":
[quote="Whisky84"]
Il ragionamento che fai in campo reale mi convince, puntualizzando però che quello è il raggio di convergenza sull'asse $y$. Ovviamente sull'asse $x$ il raggio sarà \( \sqrt[4]{\frac{1}{4}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \), centrato in \(x_0=-3\).
Uguale qui.
Perchè devo fare la radice quarta? E il centro come l'hai determinato? Devo fare il disegno per dirlo?
[/quote]
Uhm, proviamo così: tu hai detto correttamente che (la stiamo considerando in campo reale eh!!, ponendo $y=(z+3)^4$ la serie converge per $|4y|<1$, da cui ricavi un raggio di convergenza pari a un quarto. Ok. Riprendiamo la disequazione e manipoliamola:
\(\displaystyle
|4y|<1 \quad \rightarrow \quad -1 < 4y < 1 \quad \rightarrow \quad -\frac{1}{4} < y < \frac{1}{4}
\)
|4y|<1 \quad \rightarrow \quad -1 < 4y < 1 \quad \rightarrow \quad -\frac{1}{4} < y < \frac{1}{4}
\)
rifacendo la sostituzione al contrario:
\(\displaystyle
-\frac{1}{4} < y < \frac{1}{4} \quad \rightarrow \quad -\frac{1}{4} < (z+3)^4 < \frac{1}{4} \quad \rightarrow \quad 0 \leq (z+3)^4 < \frac{1}{4} \quad \rightarrow \quad
\)
-\frac{1}{4} < y < \frac{1}{4} \quad \rightarrow \quad -\frac{1}{4} < (z+3)^4 < \frac{1}{4} \quad \rightarrow \quad 0 \leq (z+3)^4 < \frac{1}{4} \quad \rightarrow \quad
\)
\(\displaystyle
-\frac{1}{\sqrt{2}} < z+3 < \frac{1}{\sqrt{2}} \quad \rightarrow \quad -3 -\frac{1}{\sqrt{2}} < z < -3 + \frac{1}{\sqrt{2}}
\)
-\frac{1}{\sqrt{2}} < z+3 < \frac{1}{\sqrt{2}} \quad \rightarrow \quad -3 -\frac{1}{\sqrt{2}} < z < -3 + \frac{1}{\sqrt{2}}
\)
Quindi le $z$ reali per cui converge sono tutte quelle nell'intervallo \( \left(-3 -\frac{1}{\sqrt{2}};-3 + \frac{1}{\sqrt{2}}\right) \). Il centro di questo intervallo è $-3$, la sua semiampiezza (raggio) è $\frac{1}{\sqrt{2}}$ (Queste due informazioni si vedono meglio dal penultimo passaggio).
"Shika93":
La somma di una serie geometrica è $1/(1-x)$
Mi da fastidio quell'esponente $n$ quindi posso fare la radice ennesima della serie per toglierlo?
Se si, la somma verrebbe
$1/(1-(z+3)^4)$? e quindi $1/(-z^4-12z-80)$?
Attento che la ragione di questa serie non è \((z+3)^4\) ma \(4(z+3)^4\), ed hai sbagliato a svolgere la quarta potenza di quel binomio (Dov'è il termine di terzo grado?).
"Whisky84":
[quote="Shika93"]Non ho capito da quando hai posto $z=x+iy$
Come fa a venire $(x+3)^2+y^2$? E perchè il centro è $-3$?
Allora, è chiaro perché al posto di $z$ ho messo $x+iy$? Ho solo scritto quella quantità complessa in forma algebrica!
Poi, quell'equazione viene perché ovviamente in campo complesso $|\cdot|$ non è il valore assoluto, ma il modulo! (Si indicano con lo stesso simbolo perché sono "parenti strette strette strette", per dirla in termini semplici). Ti ricordo che dato un numero complesso $z=x+iy$ si ha:
\(\displaystyle
\left| z \right| = \left|x+iy\right| = \sqrt{x^2 + y^2}
\).
\left| z \right| = \left|x+iy\right| = \sqrt{x^2 + y^2}
\).
Infine, l'equazione che ho ottenuto è un'equazione di una circonferenza di centro $(-3,0)$ e raggio $\frac{1}{\sqrt{2}}$, dovrebbe essere un risultato noto sin dalle scuole superiori.
[/quote]
Ah ho capito. Non mi ritrovavo. Colpa mia xD
"Whisky84":
[quote="Shika93"]Non ho capito da quando hai posto $z=x+iy$
Come fa a venire $(x+3)^2+y^2$? E perchè il centro è $-3$?
Allora, è chiaro perché al posto di $z$ ho messo $x+iy$? Ho solo scritto quella quantità complessa in forma algebrica!
Poi, quell'equazione viene perché ovviamente in campo complesso $|\cdot|$ non è il valore assoluto, ma il modulo! (Si indicano con lo stesso simbolo perché sono "parenti strette strette strette", per dirla in termini semplici). Ti ricordo che dato un numero complesso $z=x+iy$ si ha:
\(\displaystyle
\left| z \right| = \left|x+iy\right| = \sqrt{x^2 + y^2}
\).
\left| z \right| = \left|x+iy\right| = \sqrt{x^2 + y^2}
\).
Infine, l'equazione che ho ottenuto è un'equazione di una circonferenza di centro $(-3,0)$ e raggio $\frac{1}{\sqrt{2}}$, dovrebbe essere un risultato noto sin dalle scuole superiori.
"Shika93":
[quote="Whisky84"]
Il ragionamento che fai in campo reale mi convince, puntualizzando però che quello è il raggio di convergenza sull'asse $y$. Ovviamente sull'asse $x$ il raggio sarà \( \sqrt[4]{\frac{1}{4}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \), centrato in \(x_0=-3\).
Uguale qui.
Perchè devo fare la radice quarta? E il centro come l'hai determinato? Devo fare il disegno per dirlo?
[/quote]
Uhm, proviamo così: tu hai detto correttamente che (la stiamo considerando in campo reale eh!!, ponendo $y=(z+3)^4$ la serie converge per $|4y|<1$, da cui ricavi un raggio di convergenza pari a un quarto. Ok. Riprendiamo la disequazione e manipoliamola:
\(\displaystyle
|4y|<1 \quad \rightarrow \quad -1 < 4y < 1 \quad \rightarrow \quad -\frac{1}{4} < y < \frac{1}{4}
\)
|4y|<1 \quad \rightarrow \quad -1 < 4y < 1 \quad \rightarrow \quad -\frac{1}{4} < y < \frac{1}{4}
\)
rifacendo la sostituzione al contrario:
\(\displaystyle
-\frac{1}{4} < y < \frac{1}{4} \quad \rightarrow \quad -\frac{1}{4} < (z+3)^4 < \frac{1}{4} \quad \rightarrow \quad 0 \leq (z+3)^4 < \frac{1}{4} \quad \rightarrow \quad
\)
-\frac{1}{4} < y < \frac{1}{4} \quad \rightarrow \quad -\frac{1}{4} < (z+3)^4 < \frac{1}{4} \quad \rightarrow \quad 0 \leq (z+3)^4 < \frac{1}{4} \quad \rightarrow \quad
\)
\(\displaystyle
-\frac{1}{\sqrt{2}} < z+3 < \frac{1}{\sqrt{2}} \quad \rightarrow \quad -3 -\frac{1}{\sqrt{2}} < z < -3 + \frac{1}{\sqrt{2}}
\)
-\frac{1}{\sqrt{2}} < z+3 < \frac{1}{\sqrt{2}} \quad \rightarrow \quad -3 -\frac{1}{\sqrt{2}} < z < -3 + \frac{1}{\sqrt{2}}
\)
Quindi le $z$ reali per cui converge sono tutte quelle nell'intervallo \( \left(-3 -\frac{1}{\sqrt{2}};-3 + \frac{1}{\sqrt{2}}\right) \). Il centro di questo intervallo è $-3$, la sua semiampiezza (raggio) è $\frac{1}{\sqrt{2}}$ (Queste due informazioni si vedono meglio dal penultimo passaggio).[/quote]
Si questa è la stessa cosa che si fa sempre nel campo reale. Ma nel campo immaginario?
"Whisky84":
[quote="Shika93"]
La somma di una serie geometrica è $1/(1-x)$
Mi da fastidio quell'esponente $n$ quindi posso fare la radice ennesima della serie per toglierlo?
Se si, la somma verrebbe
$1/(1-(z+3)^4)$? e quindi $1/(-z^4-12z-80)$?
Attento che la ragione di questa serie non è \((z+3)^4\) ma \(4(z+3)^4\), ed hai sbagliato a svolgere la quarta potenza di quel binomio (Dov'è il termine di terzo grado?).[/quote]
Si, vabbè la potenza è $-x^4-12 x^3-54 x^2-108 x-80$
Quindi devo fare $4(-z^4-12 z^3-54 z^2-108 z-80)$ e poi buttarlo dentro alla formula della somma al posto di z?
"Shika93":
Si questa è la stessa cosa che si fa sempre nel campo reale. Ma nel campo immaginario?
La risoluzione in campo complesso te l'ho scritta nella prima risposta!! È quella cosa che finisce con l'equazione della circonferenza....
"Shika93":
Quindi devo fare $4(-z^4-12 z^3-54 z^2-108 z-80)$ e poi buttarlo dentro alla formula della somma al posto di z?
Sì
Ah scusa sono rintronato.
Allora per il momento è a posto!
Grazie di tutto!
Allora per il momento è a posto!
Grazie di tutto!
Prego 
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