Serie di potenze. aiuto nella risoluzione 2 esercizio
Ciao,
anche qua mi blocco. devo stabilire raggio, insieme e tipo di convergenza.
$ sum_(n = 0) (n^2)/(n^2+sqrtn)*x^n $
grazie
anche qua mi blocco. devo stabilire raggio, insieme e tipo di convergenza.
$ sum_(n = 0) (n^2)/(n^2+sqrtn)*x^n $
grazie
Risposte
Ciao! Facci vedere precisamente dove ti blocchi nel calcolo del raggio di convergenza.
praticamente all'inizio. non riesco ad applicare il criterio del rapporto.
non riesco a gestire il $ sqrt(n) $
$ lim_(n -> oo ) (n+1)^2/((n+1)^2+sqrt(n+1))*((n^2+sqrtn)/n^2) $
non riesco a gestire il $ sqrt(n) $
$ lim_(n -> oo ) (n+1)^2/((n+1)^2+sqrt(n+1))*((n^2+sqrtn)/n^2) $
Ti suggerisco (anche per i post futuri) di scrivere qualche conto, così non si capisce molto quali sono i tuoi dubbi/lacune. In ogni caso, come avrai imparato ad analisi $1$, quando hai una forma indeterminata $\infty/\infty$ devi raccogliere i termini "dominanti" all'infinito. Chi domina al numeratore di $\frac{a_{n+1}}{a_n}$? E al denominatore chi domina?
mi scuso in anticipo per la risposta.
non sapendo andare avanti moltiplicherei i numeratori $ \frac{a_{n+1}}{a_n} $ e i denominatori
andando ad ottenere
numeratore $ n^4+2n^3+n^2+n^2sqrtn+2nsqrtn+sqrtn $
denominatore $ n^4+2n^3+n^2+n^2sqrtn $
andando a raccogliere $ n^4 $ ottengo come risultato 1 quindi il raggio di convergenza è il reciproco di 1 che è ovviamente 1
è corretto?
non sapendo andare avanti moltiplicherei i numeratori $ \frac{a_{n+1}}{a_n} $ e i denominatori
andando ad ottenere
numeratore $ n^4+2n^3+n^2+n^2sqrtn+2nsqrtn+sqrtn $
denominatore $ n^4+2n^3+n^2+n^2sqrtn $
andando a raccogliere $ n^4 $ ottengo come risultato 1 quindi il raggio di convergenza è il reciproco di 1 che è ovviamente 1
è corretto?
Perché ti scusi? Non c'è bisogno di scusarsi di nulla 
.
È corretto, a parte l'ultimo termine del denominatore che è $n^2\sqrt{n+1}$ (per fortuna, non cambia il risultato del limite). Quindi, sicuramente la serie converge puntualmente in $(-1,1)$; ora rimane da vedere cosa succede agli estremi di questo intervallo. Come si comporta la serie per $x=1$? E per $x=-1$?
.È corretto, a parte l'ultimo termine del denominatore che è $n^2\sqrt{n+1}$ (per fortuna, non cambia il risultato del limite). Quindi, sicuramente la serie converge puntualmente in $(-1,1)$; ora rimane da vedere cosa succede agli estremi di questo intervallo. Come si comporta la serie per $x=1$? E per $x=-1$?
$ x=1 $ applico il criterio di Raabe che mi dice di calcolare $ lim_(n -> oo ) ((An)/(An+1)-1)=l $
dato che il risultato è 0 possiamo dire che la serie diverge.
$ x=-1 $ applico criterio di LeIbiniz quindi verifico:
$ lim_(n -> oo ) An=0 $ NO! fa 1
$ (An+1)<= (An) $
anche in sto caso la funzione diverge
dato che il risultato è 0 possiamo dire che la serie diverge.
$ x=-1 $ applico criterio di LeIbiniz quindi verifico:
$ lim_(n -> oo ) An=0 $ NO! fa 1
$ (An+1)<= (An) $
anche in sto caso la funzione diverge
Nel caso di $x=-1$, non c'è bisogno di considerare la monotonia perché, come hai correttamente notato, basta che il limite del termine generale sia non nullo per assicurare la non convergenza. Quindi, osservata questa cosa, non hai bisogno di invocare il criterio di Raabe per il caso $x=1$: anche in quel caso il limite del termine generale è $1$, quindi la serie non converge neanche in $x=1$.
In conclusione, l'insieme di convergenza puntuale coincide con $(-1,1)$. Rimane da stabilire se in tale insieme la convergenza è uniforme/totale. Idee per studiare questi due tipi di convergenza?
In conclusione, l'insieme di convergenza puntuale coincide con $(-1,1)$. Rimane da stabilire se in tale insieme la convergenza è uniforme/totale. Idee per studiare questi due tipi di convergenza?
sto provando ma non riesco a rispondere alla domanda.
penso che centri Weierstrass ma non riesco ad applicarlo
penso che centri Weierstrass ma non riesco ad applicarlo
La definizione di convergenza totale è: una serie di funzioni (quindi, in particolare, una serie di potenze) converge totalmente in un insieme $I$ se converge la serie numerica:
$$\sum_{n=n_0}^{\infty} \sup_{x \in I} |f_n(x)|$$
Per $n \in \mathbb{N}\setminus\{0\}$ arbitrario fissato, chi è
$$\sup_{x \in (-1,1)} \left|\frac{n^2}{n^2+\sqrt{n}}x^n\right| \ ?$$
$$\sum_{n=n_0}^{\infty} \sup_{x \in I} |f_n(x)|$$
Per $n \in \mathbb{N}\setminus\{0\}$ arbitrario fissato, chi è
$$\sup_{x \in (-1,1)} \left|\frac{n^2}{n^2+\sqrt{n}}x^n\right| \ ?$$
niente...sto riguardando la teoria (penso mi manchi qualcosa). non riesco ad andare avanti
Qui non c'entrano le serie, sono risultati precedenti. Si parla di proprietà delle funzioni elementari e la loro monotonia.
Per ogni $n\in\mathbb{N}\setminus\{0\}$ fissato, la funzione $x \mapsto |x|^n$ è crescente in $(0,1)$ e decrescente in $(-1,0)$. Quindi, per il teorema del limite delle funzioni monotòne e per parità di $|x|^n$, si ha:
$$\sup_{x \in (-1,1)} |x|^n=\sup_{x \in (0,1)} x^n=\lim_{x \to 1^-} x^n=1$$
Quindi, dato che $\frac{n^2}{n^2+\sqrt{n}}>0$ per ogni $n\in\mathbb{N}\setminus\{0\}$, è:
$$\sup_{x \in (-1,1)} \left|\frac{n^2}{n^2+\sqrt{n}}x^n\right|=\sup_{x \in (-1,1)} \frac{n^2}{n^2+\sqrt{n}}|x|^n=\frac{n^2}{n^2+\sqrt{n}}$$
Perciò, cosa concludi?
Per ogni $n\in\mathbb{N}\setminus\{0\}$ fissato, la funzione $x \mapsto |x|^n$ è crescente in $(0,1)$ e decrescente in $(-1,0)$. Quindi, per il teorema del limite delle funzioni monotòne e per parità di $|x|^n$, si ha:
$$\sup_{x \in (-1,1)} |x|^n=\sup_{x \in (0,1)} x^n=\lim_{x \to 1^-} x^n=1$$
Quindi, dato che $\frac{n^2}{n^2+\sqrt{n}}>0$ per ogni $n\in\mathbb{N}\setminus\{0\}$, è:
$$\sup_{x \in (-1,1)} \left|\frac{n^2}{n^2+\sqrt{n}}x^n\right|=\sup_{x \in (-1,1)} \frac{n^2}{n^2+\sqrt{n}}|x|^n=\frac{n^2}{n^2+\sqrt{n}}$$
Perciò, cosa concludi?
che il sup è sempre positivo (?)
Rileggi il mio intervento sulla definizione di convergenza totale.
scusa ma non ci arrivo 
Dalla definizione hai che c'è convergenza totale se converge la serie:
$$\sum_{n=1}^\infty \sup_{x \in (-1,1)} \left|\frac{n^2}{n^2+\sqrt{n}}x^n\right|=\sum_{n=1}^\infty \frac{n^2}{n^2+\sqrt{n}}$$
L'ultima serie diverge (è il caso $x=1$ della convergenza puntuale studiato in precedenza); dunque, non c'è convergenza totale in $(-1,1)$. Per lo stesso motivo, non hai convergenza totale in ogni intervallo della forma $[c,1)$ e $(-1,c]$ per ogni $-1
Tuttavia, la convergenza è totale in ogni intervallo $[a,b] \subset (-1,1)$. Infatti, posto $M:=\max\{|a|,|b|\}$, per le stesse proprietà di monotonia che ho citato in una delle risposte precedenti si ha:
$$\sum_{n=1}^\infty \sup_{x \in [a,b]} \left|\frac{n^2}{n^2+\sqrt{n}}x^n\right|=\sum_{n=1}^\infty \frac{n^2}{n^2+\sqrt{n}}M^n$$
Ma $n^2+\sqrt{n}>n^2>0$ per ogni $n\in\mathbb{N}\setminus\{0}$ ed $M^n \ge 0$ per ogni $n\in\mathbb{N}\setminus\{0}$, quindi:
$$\sum_{n=1}^\infty \frac{n^2}{n^2+\sqrt{n}}M^n \le \sum_{n=1}^\infty M^n$$
Essendo $M=\max\{|a|,|b|\}$ e $[a,b] \subset (-1,1)$, segue che $M<1$ e quindi l'ultima è una serie geometrica convergente. Pertanto, essendo la serie dell'estremo superiore dei moduli una serie a termini non negativi, per confronto converge anche la serie degli estremi superiori in $[a,b]$ e quindi c'è convergenza totale in ogni intervallo $[a,b] \subset (-1,1)$. Essendovi convergenza totale, c'è anche convergenza uniforme in ogni intervallo $[a,b] \subset (-1,1)$ (perché la convergenza totale implica la convergenza uniforme). Questo è un teorema generale: le serie di potenze convergono uniformemente in ogni compatto contenuto nell'insieme di convergenza puntuale.
Rimane quindi da studiare se c'è eventualmente convergenza uniforme in $(-1,1)$. Per la convergenza uniforme cosa devi fare? Non ti posso fare da libro di testo/sostituto per il corso di analisi, devi imparare ad usare il libro di testo o gli appunti almeno per provare ad impostare i problemi. Quando non sai dove mettere le mani, devi almeno provare ad usare le definizioni e i teoremi principali per vedere cosa esce fuori.
$$\sum_{n=1}^\infty \sup_{x \in (-1,1)} \left|\frac{n^2}{n^2+\sqrt{n}}x^n\right|=\sum_{n=1}^\infty \frac{n^2}{n^2+\sqrt{n}}$$
L'ultima serie diverge (è il caso $x=1$ della convergenza puntuale studiato in precedenza); dunque, non c'è convergenza totale in $(-1,1)$. Per lo stesso motivo, non hai convergenza totale in ogni intervallo della forma $[c,1)$ e $(-1,c]$ per ogni $-1
Tuttavia, la convergenza è totale in ogni intervallo $[a,b] \subset (-1,1)$. Infatti, posto $M:=\max\{|a|,|b|\}$, per le stesse proprietà di monotonia che ho citato in una delle risposte precedenti si ha:
$$\sum_{n=1}^\infty \sup_{x \in [a,b]} \left|\frac{n^2}{n^2+\sqrt{n}}x^n\right|=\sum_{n=1}^\infty \frac{n^2}{n^2+\sqrt{n}}M^n$$
Ma $n^2+\sqrt{n}>n^2>0$ per ogni $n\in\mathbb{N}\setminus\{0}$ ed $M^n \ge 0$ per ogni $n\in\mathbb{N}\setminus\{0}$, quindi:
$$\sum_{n=1}^\infty \frac{n^2}{n^2+\sqrt{n}}M^n \le \sum_{n=1}^\infty M^n$$
Essendo $M=\max\{|a|,|b|\}$ e $[a,b] \subset (-1,1)$, segue che $M<1$ e quindi l'ultima è una serie geometrica convergente. Pertanto, essendo la serie dell'estremo superiore dei moduli una serie a termini non negativi, per confronto converge anche la serie degli estremi superiori in $[a,b]$ e quindi c'è convergenza totale in ogni intervallo $[a,b] \subset (-1,1)$. Essendovi convergenza totale, c'è anche convergenza uniforme in ogni intervallo $[a,b] \subset (-1,1)$ (perché la convergenza totale implica la convergenza uniforme). Questo è un teorema generale: le serie di potenze convergono uniformemente in ogni compatto contenuto nell'insieme di convergenza puntuale.
Rimane quindi da studiare se c'è eventualmente convergenza uniforme in $(-1,1)$. Per la convergenza uniforme cosa devi fare? Non ti posso fare da libro di testo/sostituto per il corso di analisi, devi imparare ad usare il libro di testo o gli appunti almeno per provare ad impostare i problemi. Quando non sai dove mettere le mani, devi almeno provare ad usare le definizioni e i teoremi principali per vedere cosa esce fuori.
grazie mille per l'aiuto. provo a ritornare sull'argomento domani mattina a mente più fresca
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