Serie di potenze

[palù2]

Ho dei dubbi su questa serie di potenze anzi sul calcolo del raggio di convergenza precisamente.
La serie è questa: $ sum_(n =1)^(oo)(1+ 1/ n^2)^(n^2) * e^(n(x-1)) $.
Allora pongo $ y=e^{x-1} $ ed ottengo la serie :
$ sum_(n = 1)^(oo)(1+1/ n^2)^(n^2)*y^n $.
A questo punto dovrei calcolarmi il raggio di convergenza e usando il criterio della radice e mi viene il
$ lim_(n ->oo) (1+ 1 / n^2)^n $ sul quale ho dei dubbi;
dovrei ricondurmi al limite notevole?? I miei amici dicono che il risultato di questo limite è 1 : io non penso perchè $ 1^oo $ è una forma indeterminata.

[gugo82]

Beh, usando il limite notevole di \(e\) hai:
\[
\lim_{n\to\infty } \left( 1+\frac{1}{n^2}\right)^n = \lim_{n\to\infty } \left[\left( 1+\frac{1}{n^2}\right)^{n^2}\right]^{1/n} = e^0=1\; .
\]

[sheldon1]

io penso che non ci si debba fossilizzare sui criteri per trovare il raggio di convergenza, quello li era un infinitesimo di ordine maggiore di 1/n^2 quindi per convergere y deve essere per forza tra -1 ed 1 se fosse maggiore di 1 l'altro infinitesimo non è abbastanza "potente" da mandare a 0 la serie

[gugo82]

"Quello lì" chi?

[sheldon1]

scusami, (1+1/n^2)^n^2

[gugo82]

Che non è assolutamente infinitesimo, no?

[palù2]

Quindi il raggio di convergenza è uno..poi quando vado a calcolare la serie negli estremi ottengo per y=-1 la serie $ sum_(n = 1)^(oo) (1+1 /n^2)^(n^2)*e^(-2n) $ .Posso applicare il criterio della radice?? Perchè cmq an è maggiore uguale di zero e mi verrebbe che la serie converge perchè come risultato del limite avrei 1/e^2. E' corretto?? Mentre per y=1 diverge??