Serie di potenze
Salve! Ho un problema con le serie di potenze!
L'esercizio richiede di calcolare il raggio di convergenza della serie di potenze e determinare la funzione della quale e la serie di MacLaurin.
Considerando la serie $\sum_0^oo (2^n+n)x^n$ , che tende a $oo$ per $x->oo$ , trovo che il raggio di convergenza è zero, poichè $r=1/l$, e il mio $l=+oo$.
A questo punto, come fare per ultimare l'esercizio?
L'esercizio richiede di calcolare il raggio di convergenza della serie di potenze e determinare la funzione della quale e la serie di MacLaurin.
Considerando la serie $\sum_0^oo (2^n+n)x^n$ , che tende a $oo$ per $x->oo$ , trovo che il raggio di convergenza è zero, poichè $r=1/l$, e il mio $l=+oo$.
A questo punto, come fare per ultimare l'esercizio?
Risposte
Non credo proprio che il raggio di convergenza sia \(0\).
Perdona la mia ignoranza, pensavo che se il $lim->oo$ della funzione fosse $+oo$ allora il raggio di convergenza fosse zero! Dove sbaglio?
Grazie in anticipo.
Grazie in anticipo.
Il raggio di convergenza si trova usando dei teoremi appositi (e.g., il criterio di Cauchy-Hadamard o il criterio di d'Alembert), non calcolando limiti "a casaccio". 
Non ho calcolato limiti a casaccio ho fatto il criterio del rapporto facendo $\lim_(n->+oo) ((a_(n+1))/a_n)$ ed il limite è risultato $->2$. Solo ora mi sono reso conto del brutto errore che ho commesso!
Scusa!
Però a questo punto il problema non cambia.. come faccio ad andare avanti con l'esercizio? Come trovare la funzione?
Scusa!
Però a questo punto il problema non cambia.. come faccio ad andare avanti con l'esercizio? Come trovare la funzione?
"Karozzi":
Ho fatto il criterio del rapporto facendo $\lim_(n->+oo) ((a_(n+1))/a_n)$ ed il limite è risultato $->oo$.
Prova a postare i tuoi conti.
"Paolo90":
[quote="Karozzi"]Ho fatto il criterio del rapporto facendo $\lim_(n->+oo) ((a_(n+1))/a_n)$ ed il limite è risultato $->oo$.
Prova a postare i tuoi conti.[/quote]
Ho sbagliato i conti il limite tendeva a 2 e non a $+oo$ come avevo detto. Scusate.
Esatto. E quindi il raggio è...
"Paolo90":
Esatto. E quindi il raggio è...
Il raggio $r=1/l$ quindi $r=1/2$
Però ora come procedo con Mclaurin?
Sì, esatto, il raggio è $1/2$.
Ora che cosa devi ancora fare? Devi calcolare la somma della serie?
Ora che cosa devi ancora fare? Devi calcolare la somma della serie?
Dovrei determinare la funzione della quale e la serie di MacLaurin.
Beh, è abbastanza facile.
Nell'intervallo di convergenza la serie converge assolutamente, ergo puoi manipolarla come più ti piace; in particolare puoi scrivere:
\[
\sum_{n=0}^\infty (2^n+n)\ x^n= \sum_{n=0}^\infty 2^n\ x^n + \sum_{n=0}^\infty n\ x^n
\]
e quindi ti basta determinare le somme delle due serie a secondo membro.
La prima è una serie geometrica di ragione \(2x\), ergo:
\[
\sum_{n=0}^\infty 2^n\ x^n = \frac{1}{1-2x}\; ;
\]
la seconda, una volta notato che per \(n=0\) non hai alcun contributo, la riscrivi:
\[
\begin{split}
\sum_{n=0}^\infty n\ x^n &=\sum_{n=1}^\infty n\ x^n\\
&\stackrel{m=n-1}{=} \sum_{m=0}^\infty (m+1)\ x^{m+1}\\
&= x\ \sum_{m=0}^\infty (m+1)\ x^m\\
&= x\ \sum_{m=0}^\infty \frac{\text{d}}{\text{d} x} x^{m+1}\\
&= x\ \frac{\text{d}}{\text{d} x} \sum_{m=0}^\infty x^{m+1} &\text{(per il teorema di derivazione termine a termine)}\\
&= x\ \frac{\text{d}}{\text{d} x} \left[ x\ \sum_{m=0}^\infty x^m\right]\\
&= x\ \frac{\text{d}}{\text{d} x} \left[ \frac{x}{1-x}\right] &\text{(somma della serie geometrica)}\\
&= \frac{x}{(1-x)^2}\; ;
\end{split}
\]
quindi:
\[
\sum_{n=0}^\infty (2^n+n)\ x^n= \frac{1}{1-2x}+\frac{x}{(1-x)^2} =\frac{1-x-x^2}{(1-2x)(1-x)^2}\; .
\]
Nell'intervallo di convergenza la serie converge assolutamente, ergo puoi manipolarla come più ti piace; in particolare puoi scrivere:
\[
\sum_{n=0}^\infty (2^n+n)\ x^n= \sum_{n=0}^\infty 2^n\ x^n + \sum_{n=0}^\infty n\ x^n
\]
e quindi ti basta determinare le somme delle due serie a secondo membro.
La prima è una serie geometrica di ragione \(2x\), ergo:
\[
\sum_{n=0}^\infty 2^n\ x^n = \frac{1}{1-2x}\; ;
\]
la seconda, una volta notato che per \(n=0\) non hai alcun contributo, la riscrivi:
\[
\begin{split}
\sum_{n=0}^\infty n\ x^n &=\sum_{n=1}^\infty n\ x^n\\
&\stackrel{m=n-1}{=} \sum_{m=0}^\infty (m+1)\ x^{m+1}\\
&= x\ \sum_{m=0}^\infty (m+1)\ x^m\\
&= x\ \sum_{m=0}^\infty \frac{\text{d}}{\text{d} x} x^{m+1}\\
&= x\ \frac{\text{d}}{\text{d} x} \sum_{m=0}^\infty x^{m+1} &\text{(per il teorema di derivazione termine a termine)}\\
&= x\ \frac{\text{d}}{\text{d} x} \left[ x\ \sum_{m=0}^\infty x^m\right]\\
&= x\ \frac{\text{d}}{\text{d} x} \left[ \frac{x}{1-x}\right] &\text{(somma della serie geometrica)}\\
&= \frac{x}{(1-x)^2}\; ;
\end{split}
\]
quindi:
\[
\sum_{n=0}^\infty (2^n+n)\ x^n= \frac{1}{1-2x}+\frac{x}{(1-x)^2} =\frac{1-x-x^2}{(1-2x)(1-x)^2}\; .
\]
Ti ringrazio moltissimo.
Davvero tanto.
Davvero tanto.
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