Serie di potenze...

[marck1806]

Ciao a tutti mi sono imbattuto in questa serie di potenze

$f=\sum_{n=0}^\infty\ e^n/((n+1)ln(n)) x^n$

la serie converge in x∈(-1/e; 1/e)

ma quando vado a vedere se converge negli estremi del intervallo mi "sorge" un problema

infatti per x=$1/e$ $\sum_{n=2}^\infty\ 1/((n+1)ln(n))$; la soluzione recita:

" per x=$1/e$ la serie $\sum_{n=2}^\infty\ 1/((n+1)ln(n))$ diverge per confronto con la serie armonica..."

quindi ciò implica che $n$>$nlogn$ da cui ne segue $(1)/(n)$<$(1)/(nlogn)$...
e non capisco come verifico questa maggiorazione, dal momento che $logn$ è >0
sicuramente sbaglio io qualcosa...
Grazie in anticipo

[j18eos]

Più che altro è \(\forall x>0,\,x>\log(x)\) come facilmente ti puoi rendere conto dal grafico; una dimostrazione rigorosa è data dall'equivalente diseguaglianza \(\forall x>0,\,x

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[menale1]

In altro modo ti basta verificare che la serie incriminata ha termine genere un quantitativo che converge a zero con ordine di infinito minore strettamente di 2 ed ecco che il gioco è fatto.Difatti sotto tale ipotesi non ha convergenza della serie.