Serie di potenze
Salve,
sto ripassando alcuni concetti sulle serie di potenze e di Taylor.
Ho due dubbi che spero mi possiate chiarire:
- introducento le serie di Taylor, le mie note fanno un esempio:
$1/(1+t) = \sum_{n=0}^{oo}(-t)^n\ ,\ |t|<1$
fra $0$ ed $x$, $-1 < x < 1$, si ottiene:
$\int_{0}^{x} 1/(1+t) dt = \int_{0}^{x}\sum_{n=0}^{oo}(-t)^n dn$
ora perchè la serie è definita con $(-t)$ e non $t$?
- la definizione di "raggio di convergenza" si basa tutta sul fatto che la serie geometrica con $|q|<1$ è convergente?
- Non mi torna un fatto, perchè se il limite dalla serie (di potenze) tende a zero, il suo raggio di convergenza è infinito?
Ringrazio
sto ripassando alcuni concetti sulle serie di potenze e di Taylor.
Ho due dubbi che spero mi possiate chiarire:
- introducento le serie di Taylor, le mie note fanno un esempio:
$1/(1+t) = \sum_{n=0}^{oo}(-t)^n\ ,\ |t|<1$
fra $0$ ed $x$, $-1 < x < 1$, si ottiene:
$\int_{0}^{x} 1/(1+t) dt = \int_{0}^{x}\sum_{n=0}^{oo}(-t)^n dn$
ora perchè la serie è definita con $(-t)$ e non $t$?
- la definizione di "raggio di convergenza" si basa tutta sul fatto che la serie geometrica con $|q|<1$ è convergente?
- Non mi torna un fatto, perchè se il limite dalla serie (di potenze) tende a zero, il suo raggio di convergenza è infinito?
Ringrazio
Risposte
Io premetterei che una serie di potenze è qualcosa di questo tipo: $sum_(n=0)^(+oo) a_n x^n$ (spero ti sia chiaro).
Per quanto riguarda la prima domanda come è vero che : $1/(1-t) = sum_(n=0)^(+oo) t^n$ dove $|t|<1$, è vero quello che hai scritto tu, perchè esattamente il tuo libro lo faccia non lo so.
Di solito si usa per calcolare la somma di questa serie: $S(x)=sum_(n=1)^(+oo) (-1)^(n-1) 1/n x^n$, la cui serie derivata è $sum_(n=1)^(+oo) (-1)^(n-1) x^(n-1)=sum_(k=0)^(+oo) (-1)^k x^k=sum_(k=0)^(+oo) (-x)^k = 1/(1+x)$. A questo punto si integra la somma a ultimo membro e si trova quella della serie di partenza, cioè $S(x)=log(1+x)$, uguaglianza che vale in tutti compatti contenuti in $(-r,r)$ (grazie ai teoremi relativi a convergenza uniforme della serie in relazione al suo raggio di convergenza $r$), ma in questo caso anche su $[-1,a]$, per ogni $a in (0,1)$ (grazie al teorema di Abel).
La prima domanda non mi è molto chiara, il raggio di convergenza è per definizione l'estremo superiore dell'insieme di convergenza, cioè: $r=Sup{x in RR t.c. sum_(k=0)^(+oo) a_k x^k
Per quanto riguarda la prima domanda come è vero che : $1/(1-t) = sum_(n=0)^(+oo) t^n$ dove $|t|<1$, è vero quello che hai scritto tu, perchè esattamente il tuo libro lo faccia non lo so.
Di solito si usa per calcolare la somma di questa serie: $S(x)=sum_(n=1)^(+oo) (-1)^(n-1) 1/n x^n$, la cui serie derivata è $sum_(n=1)^(+oo) (-1)^(n-1) x^(n-1)=sum_(k=0)^(+oo) (-1)^k x^k=sum_(k=0)^(+oo) (-x)^k = 1/(1+x)$. A questo punto si integra la somma a ultimo membro e si trova quella della serie di partenza, cioè $S(x)=log(1+x)$, uguaglianza che vale in tutti compatti contenuti in $(-r,r)$ (grazie ai teoremi relativi a convergenza uniforme della serie in relazione al suo raggio di convergenza $r$), ma in questo caso anche su $[-1,a]$, per ogni $a in (0,1)$ (grazie al teorema di Abel).
"ham_burst":
- la definizione di "raggio di convergenza" si basa tutta sul fatto che la serie geometrica con $|q|<1$ è convergente?
- Non mi torna un fatto, perchè se il limite dalla serie (di potenze) tende a zero, il suo raggio di convergenza è infinito?
La prima domanda non mi è molto chiara, il raggio di convergenza è per definizione l'estremo superiore dell'insieme di convergenza, cioè: $r=Sup{x in RR t.c. sum_(k=0)^(+oo) a_k x^k
"Giuly19":
Di solito si usa per calcolare la somma di questa serie: $S(x)=sum_(n=1)^(+oo) (-1)^(n-1) 1/n x^n$, la cui serie derivata è $sum_(n=1)^(+oo) (-1)^(n-1) x^(n-1)=sum_(k=0)^(+oo) (-1)^k x^k=sum_(k=0)^(+oo) (-x)^k = 1/(1+x)$. A questo punto si integra la somma a ultimo membro e si trova quella della serie di partenza, cioè $S(x)=log(1+x)$, uguaglianza che vale in tutti compatti contenuti in $(-r,r)$ (grazie ai teoremi relativi a convergenza uniforme della serie in relazione al suo raggio di convergenza $r$), ma in questo caso anche su $[-1,a]$, per ogni $a in (0,1)$ (grazie al teorema di Abel).
ah ecco ottimo è la derivata, ora mi è chiara quest'uglianza.
ma nella serie $sum_(n=1)^(+oo) (-1)^(n-1) 1/n x^n$ non dovrebbe essere: $(-1)^{n+1}$?
La prima domanda non mi è molto chiara, il raggio di convergenza è per definizione l'estremo superiore dell'insieme di convergenza, cioè: $r=Sup{x in RR t.c. sum_(k=0)^(+oo) a_k x^k
ok ci sono. Intendi cioè che la mia domanda è valida se ci si riduce a $a_k=1$ e centrandola ad un $x_0=0$?
La seconda penso di averla capita, ma ti prego riscrivila meglio! Cosa tende a $0$ ?
capito la tua "irritazione" alla domanda mal posta
intendo che dalla definizione, se il criterio della radice o del rapporto danno che, la successione data $|a_k|$ della serie di potenze, tende ad un valore $L$, se questo $L$ è $0$ perchè il suo raggio di convergenza è infinito?
In formule:
$sum_(k=0)^(+oo) a_k x^k$
il $lim_{k} root(k)(|a_k|) = L$ se $L=0$ perchè il raggio di convergenza $r$ è $+oo$?
intanto ti ringrazio della disponibilità
"ham_burst":
ma nella serie $sum_(n=1)^(+oo) (-1)^(n-1) 1/n x^n$ non dovrebbe essere: $(-1)^{n+1}$?
Pensaci un attimo, ma $sum_(n=1)^(+oo) (-1)^(n-1) 1/n x^n$ e $sum_(n=1)^(+oo) (-1)^(n+1) 1/n x^n$ sono esattamente la stessa serie. In ogni caso nelle uguaglianze che ho scritto non mi pare ci sia nulla che non va; ad un certo punto ho solo cambiato indice $k=n-1$.
"ham_burst":
ok ci sono. Intendi cioè che la mia domanda è valida se ci si riduce a $a_k=1$ e centrandola ad un $x_0=0$?
Ti ripeto che non mi era chiara la domanda, se provi ad esprimerla meglio forse ti so dire sì o no.
"ham_burst":
In formule:
$sum_(k=0)^(+oo) a_k x^k$
il $lim_{k} root(k)(|a_k|) = L$ se $L=0$ perchè il raggio di convergenza $r$ è $+oo$?
Prova ad applicare il criterio della radice per le serie numeriche alla serie $sum_(n=0)^(+oo) a_n (x_0)^n=(*)$, con $x_0>0$ fissato.
Hai che la serie converge se $lim_(n->+oo) (a_n (x_0)^n)^(1/n) = x_0 lim_(n->+oo) (a_n)^(1/n) < 1$.
Cioè finche $x_0 < 1/( lim_(n->+oo) (a_n)^(1/n) ) = r$ la serie converge.
Se ci aggiungi il lemma che ti dice: data una serie di potenze del tipo $(*)$ convergente in un punto $x_0!=0$ (noi ce l'abbiamo $>0$), allora la serie converge anche su $(-x_0,x_0)$, dovresti aver dissipato i tuoi dubbi.
Ps: in realtà non è proprio rigorosissimo quello che ho scritto riguardo al raggio di convergenza, e non ho nemmeno considerato il caso in cui sia $a_n$ ad essere a segno alterno, oppure ancora più strana. Però penso che intuitivamente tu abbia capito perchè devi fare "il reciproco" di quel limite.
Solo una piccola puntualizzazione:
"Giuly19":
l'estremo superiore dell'insieme di convergenza, cioè: $r=Sup{x in RR t.c. sum_(k=0)^(+oo) a_k x^k
Quella formula così com'è non va bene. O ci metti un valore assoluto:
$r=Sup{x in RR t.c. sum_(k=0)^(+oo) | a_k x^k |e allora stai parlando di convergenza assoluta, oppure scrivi a parole:
$r=Sup{x in RR t.c. sum_(k=0)^(+oo) a_k x^k\ \text{converge} }$
e allora stai parlando di convergenza semplice. Ottieni sempre la stessa $r$ perché come sai le serie di potenze convergono assolutamente tranne al più sul bordo dell'insieme di convergenza.
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