Serie di Potenze
$ sum_(n = 1)^(+oo) (x)^(2n) ((e)^(-2nx)n )/(n^2+4) $
ho fatto la seguente sostituzione:
$ t=x(e)^(-x) $
quindi:
$ t^(2n)=(x(e)^(-x))^(2n) $
allora studio la serie di potenze:
$ t^(2n)n/(n^2+4) $
trovo che il raggio è 1, quindi posso dire che la serie converge puntualmente in (-1,1)...come procedo per la convergenza uniforme!?
devo fare i casi in cui t=1 e t=-1
ma per t=1 ho che la serie tende a 0
ho fatto la seguente sostituzione:
$ t=x(e)^(-x) $
quindi:
$ t^(2n)=(x(e)^(-x))^(2n) $
allora studio la serie di potenze:
$ t^(2n)n/(n^2+4) $
trovo che il raggio è 1, quindi posso dire che la serie converge puntualmente in (-1,1)...come procedo per la convergenza uniforme!?
devo fare i casi in cui t=1 e t=-1
ma per t=1 ho che la serie tende a 0
Risposte
Ma non era più immediato porre direttamente [tex]$t=x^2\ e^{-2x}$[/tex]?
Vabbè, ad ogni modo ti consiglio di dare un'occhiata agli appunti segnalati qui.
Vabbè, ad ogni modo ti consiglio di dare un'occhiata agli appunti segnalati qui.
gugo82:
Ma non era più immediato porre direttamente [tex]$t=x^2\ e^{-2x}$[/tex]?
Vabbè, ad ogni modo ti consiglio di dare un'occhiata agli appunti segnalati qui.
ok, ma il fatto resta che se t=1 la serie tende a 0, quindi concludeo che in t=1 non ho convergenza?
EDIT: se t=1, la serie diventa:
n/n^2+4
e questa diverge.... penso ora sia corretto!!!
"Brunosso":
[quote="gugo82"]Ma non era più immediato porre direttamente [tex]$t=x^2\ e^{-2x}$[/tex]?
Vabbè, ad ogni modo ti consiglio di dare un'occhiata agli appunti segnalati qui.
ok, ma il fatto resta che se t=1 la serie tende a 0, quindi concludeo che in t=1 non ho convergenza?[/quote]
"La serie tende a zero"? Per favore, cerca di esprimere correttamente ciò che intendi; visto che non è la prima volta che lo scrivi, sappi che è un errore grave e che va corretto.
"Brunosso":
EDIT: se t=1, la serie diventa:
n/n^2+4
e questa diverge.... penso ora sia corretto!!!
La serie $\sum \frac{n}{n^2+4}$ diverge, sì (per confronto con la serie armonica), ergo per $t=1$ la tua serie ausiliaria non converge. Ma rimane aperta la questione della convergenza della serie originale.
"gugo82":
"La serie tende a zero"? Per favore, cerca di esprimere correttamente ciò che intendi; visto che non è la prima volta che lo scrivi, sappi che è un errore grave e che va corretto.
Hai ragione! Intendevo dire che se faccio il limite per n->inf il blocco $\frac{n}{n^2+4}$ tende a 0, ma poi ho ricordato, che basta fare il confronto con la serie armonica e quindi diverge!
"gugo82":
La serie $\sum \frac{n}{n^2+4}$ diverge, sì (per confronto con la serie armonica), ergo per $t=1$ la tua serie ausiliaria non converge. Ma rimane aperta la questione della convergenza della serie originale.
se t=-1 la serie risultante è a segni alterni, e per il Criterio d Leibnitz converge, quindi in definitiva posso dire che la serie di partenza converge uniformemente nell'intervallo
$ -1<=x^2e^(-2x)<= k $ dove $ 0<=k<1 $
è corretta la risoluzione dell'esercizio??!
Fin qui tutto bene, ma ancora non hai finito.
Ad ogni modo, io direi che quella serie converge dappertutto in [tex]$\mathbb{R}$[/tex] totalmente.
Ad ogni modo, io direi che quella serie converge dappertutto in [tex]$\mathbb{R}$[/tex] totalmente.
"gugo82":
Fin qui tutto bene, ma ancora non hai finito.
Ad ogni modo, io direi che quella serie converge dappertutto in [tex]$\mathbb{R}$[/tex] totalmente.
Allora sono un cretino io perchè non ho messo il testo, in ogni caso, il testo chiede convergenza puntuale e uniforme!...sono giuste queste?
PS: ma come determini quella totale? giusto per saperlo, non per altro
"Brunosso":
[quote="gugo82"]Fin qui tutto bene, ma ancora non hai finito.
Ad ogni modo, io direi che quella serie converge dappertutto in [tex]$\mathbb{R}$[/tex] totalmente.
Allora sono un cretino io perchè non ho messo il testo, in ogni caso, il testo chiede convergenza puntuale e uniforme!...sono giuste queste?[/quote]
Nono, sono un cretino io... Ho sbagliato a fare i conti prima.
Scusa se ti ho incasinato.
Ad ogni modo, rimane da risolvere [tex]$-1\leq x^2\ e^{-2x} \leq k$[/tex]... Come ti muovi?
"gugo82":
[quote="Brunosso"][quote="gugo82"]Fin qui tutto bene, ma ancora non hai finito.
Ad ogni modo, io direi che quella serie converge dappertutto in [tex]$\mathbb{R}$[/tex] totalmente.
Allora sono un cretino io perchè non ho messo il testo, in ogni caso, il testo chiede convergenza puntuale e uniforme!...sono giuste queste?[/quote]
Nono, sono un cretino io... Ho sbagliato a fare i conti prima.
Scusa se ti ho incasinato.
Ad ogni modo, rimane da risolvere [tex]$-1\leq x^2\ e^{-2x} \leq k$[/tex]... Come ti muovi?[/quote]
ah ok
fiuu, allora al prof non importa la risoluzione corretta di quello, quindi basta arrivare all'intervallo generico...per continuare non saprei, escludo fare la radice per levare i quadrati....mmmm non saprei
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