Serie di potenze

[ramco88]

salve ragazzi....mi serve di nuovo il vostro aiuto per queste maledette serie
mi trovo di fronte a questa serie

$\sum_{n=0}^\infty (x^(2n+2))/((2n+2)(2n+1))$

devo studiare la convergenza semplice ed uniforme e calcolarne la somma!
io ho proceduto in questo modo:
poichè $(x^(2n+2))/((2n+2)$ = $\int_{0}^{x} t^(2n+1)$
la serie
$\sum_{n=0}^\infty (x^(2n+2))/((2n+2)$
è ottenuta per integrazione dalla serie
$\sum_{n=0}^\infty (t^(2n+1))/(2n+1)$
che a sua volta è ottenuta per integrazione dalla serie
$\sum_{n=0}^\infty s^(2n)
questa è una serie di potenze con $a_n$ = 1 variabile $s^(2n)$ e centro 0
per vedere dove converge puntualmente trovo il raggio di convergenza che è uguale a 1
quindi la serie converge puntualmente nell'intervallo ]-1,1[
ora per vedere la convergenza uniforme dovrei vedere per il teorema di Abel cosa succede negli etremi, giusto?!
che bisogna fare? bisogna calcolare la somma e sostituire i valori agli estremi? e per trovare la somma della serie originale come si fa???
scusate ragazzi ma nn ci capisco nulla!
VI PREGO AIUTATEMI...anche più risposte vanno bene per capirne qualcosa in più!
comunque ragazzi sono nuovo del forum, volevo farvi i complimenti per l'organizzazione e se c'è qualcosa che non va o qualche regola che ho violato
dite pure....GRAZIE DI NUOVO!

[orazioster]

Una serie di potenze come la tua converge
giusto a $1/(1- s^2) =lim_{n\to\infty} (1-s^(2(n+1)))/(1-s^2)$;
"Classico": $s=2^(-1/2), \sum_{0}^\infty =2$

[dissonance]

Allora, intanto una cosa importante sulla convergenza delle serie di potenze. Se una serie di potenze $sum_{n=0}^inftya_n(x-x_0)$ ha raggio di convergenza $rho$ (non escluso $rho=infty$), allora non solo converge puntualmente in $(x_0-rho, x_0+rho)$ ma anche uniformemente in $[x_0-xi, x_0+eta]$ per ogni $0uniformemente sui compatti di $(x_0-rho, x_0+rho)$).

Quindi, nel tuo caso, tu sai che la serie converge uniformemente in ogni intervallo $[-xi, eta]$ per ogni $0
Analogamente, per sapere se c'è convergenza uniforme anche per $xi=1$ (quindi negli intervalli di forma $[-1, eta]$), si può applicare il teorema di Abel e verificare se la serie di potenze converge per $x=-1$.

Prova un po' e vedi che cosa riesci a cavarne.

[ramco88]

OK....nn avevo capito che dovevo sostituire gli estremi nella serie di partenza
adesso ottengo la convergenza uniforme nell'intervallo [-1,1]
e per la somma che devo fare?
nn saprei prorpio da dove cominciare...