Serie di Potenze

[zio_paperone]

Serie di Potenze nel campo complesso:
Trovo il raggio di convergenza, e va bene.
a quel punto guardo cosa succede sul bordo...
Il teorema dovrebbe dire, se non sbaglio, che se converge assolutamente allora converge, in quel caso ok..
ma se diverge assolutamente cosa si può dire? se diverge in alcuni punti del bordo si può dire che diverge in tutto l bordo? non penso.. cosa ci si può fare?

[gugo82]

"zio_paperone":se diverge in alcuni punti del bordo si può dire che diverge in tutto l bordo? non penso.. cosa ci si può fare?

Ovviamente no.

Nel seguito indico con $C$ e $Gamma$ il cerchio di convergenza e la frontiera del cerchio di convergenza di una s.d.p. $\sum a_n z^n$.
Ci sono s.d.p. che hanno un unico punto singolare sulla propria $Gamma$ epperò ci sono anche serie con "molti" punti singolari su $Gamma$ (in alcuni casi l'insieme delle singolarità è denso in $Gamma$ o è tutto $Gamma$) oppure con nessun punto singolare.
Ad esempio se $Gamma=\{z\in CC: |z|=1\}$ si prova facilmente che: $\sum 1/n z^n$ converge su $Gamma \setminus \{ 1\}$ (per un teorema di Picard); $\sum z^n$ non converge in nessun punto di $Gamma$ (non è soddisfatta la condizione necessaria alla convergenza); $\sum 1/(n(n+1)) z^n$ converge in tutti i punti di $Gamma$ (maggiorata in modulo da una serie telescopica).