Serie di potenze

[Motzo1]

ho la serie $\sum_{n=1}^oo (-7^n +2^(3n))/n * (x-1/8)^n$
l'esercizio mi chiede di trovare il raggio di convergenza e l'insieme E di tutti gli x tali che la serie converge.

ho trovato il raggio di convergenza che è 8, poi non so piu cosa fare..chi mi aiuta per favore??

[franced]

"Motzo":ho la serie $\sum_{n=1}^oo (-7^n +2^(3n))/n * (x-1/8)^n$
l'esercizio mi chiede di trovare il raggio di convergenza e l'insieme E di tutti gli x tali che la serie converge.

ho trovato il raggio di convergenza che è 8, poi non so piu cosa fare..chi mi aiuta per favore??

Rivolgiti al criterio della radice.

[gugo82]

"Motzo":ho la serie $\sum_{n=1}^oo (-7^n +2^(3n))/n * (x-1/8)^n$
l'esercizio mi chiede di trovare il raggio di convergenza e l'insieme E di tutti gli x tali che la serie converge.

ho trovato il raggio di convergenza che è 8, poi non so piu cosa fare..chi mi aiuta per favore??

Sicuro che il raggio di convergenza sia $8$?... A me pare sia il reciproco. Guarda un po' bene.

Ad ogni modo, una volta noto il raggio di convergenza $rho$ della serie di potenze $\sum a_n(x-x_0)^n$, sai che la tua serie converge uniformemente in (ogni compatto di) $]x_0-rho,x_0+rho[$; quindi ti rimane da vedere cosa succede nei due estremi (ammesso che siano finiti) $x_0-rho, x_0+rho$: per fare ciò devi applicare qualcuno dei criteri studiati in Analisi I (condizione necessaria alla convergenza, criterio del rapporto, della radice, di Leibniz, di Cauchy, ...) alle serie numeriche $\sum a_n (-rho)^n=\sum (-1)^n a_nrho^n$ e $\sum a_n rho^n$.

Buono studio.