Serie di potenze

[tankfrank-votailprof]

Sono alle prese con la soluzione su una serie di potenze. E non mi riesce trovare il raggio di convergenza della seguente serie:


Somme da 1 a infinito{ e^[1/(2^n)] - 1 } . 1/ (x^n)

Qualcuno puo darmi una mano? Lunedi ho un esame...
Per trovare il raggio di convergenza ho tentato con il metodo della radice e del rapporto ma senza risultati. Aspetto una vostra risposta.
Grazie in anticipo.

[e^iteta]

devi usare il criterio della radice, però per cavarci una ragno dal buco devi sviluppare sotto la radice la potenza di e con taylor: e^(1/2^n) è asintotico a 1 - 1/2^n.
in questo modo semplifichi l'uno e puoi esprimere la radice come potenza frazionaria...
a me viene 1/2, quindi i raggio mi verrebbe 2
ciao

[tankfrank-votailprof]

Grazie moltissimo. Pero mi potresti spiegare un po meglio i passaggi fatti?

[e^iteta]

guarda ho il problema che in questo momento non ho mathplayer installato, per cui non posso scriverteli, per cui proverò a descriverli per iscritto (perdonami!):
1) criterio della radice: limite per n->oo della radice ennesima della successione An.
2) per n->oo, l'esponente che c'è ad e (1/2^n)è infinitesimo per cui puoi svolgere in polinomio di taylor
3) taylor: e^x = 1 + x + o(x) per cui e^(1/2^n) = 1 + 1/2^n + resto(che tanto non ci interessa)
4) a questo punto sotto la radice gli uno si semplificano e rimane radice ennesima di 1/2^n
5) questa radice equivale esattamente a scrivere (2^-n)^(1/n) cioè 2^(-1) quindi 1/2
siccome il raggio di convergenza è l'inverso, vale 2.
spero di essere stato abbastanza chiaro nonostante la mancanza di mathplayer, a presto

[tankfrank-votailprof]

sei un mito.
Grazie mille!