Serie di potenze

[Goldenboy21]

Ciao a tutti, questo è il mio primo post. Sono uno studente di ing aerospaziale e ho trovato difficoltà a risolvere questa serie di potenze:

$sum_(n=1)=((-1)^n/3^n)*(n(x-2)^n)/(2n^4+1)$


grazie

[Goldenboy21]

a dimenticavo che devo determinare l'insieme di convergenza puntuale e studiarne convergnza totale e uniforme.
grazie

[elgiovo]

Dov'è la difficoltà? Basta usare il teorema di D'Alembert, o del rapporto.

[_Tipper]

Per usare il criterio del rapporto però dovrebbe considerare prima la convergenza assoluta.

[elgiovo]

"Tipper":Per usare il criterio del rapporto però dovrebbe considerare prima la convergenza assoluta.

No, aspetta: criterio del rapporto per serie assolute e teorema di D'Alembert sono due cose distinte. Il secondo dice che data la serie di potenze $a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+ldots$, con $a_n ne 0 forall n in NN$, se esiste il limite
$l=lim_(n to oo)|(a_(n+1))/a_n|$ allora il raggio di convergenza della serie è uguale a
${(+oo mbox( se ) l=0),(1/l mbox( se ) 0 L'ho chiamato teorema del rapporto perchè è del tutto analogo al criterio del rapporto, effettivamente non avrei dovuto.

EDIT: o forse avevi pensato che io parlassi di due teoremi diversi. Comunque, era sempre quello di d'Alembert.

[_Tipper]

Io intendevo dire questo: data una serie a termini non negativi, se $\lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} < 1$ allora la serie converge.

[elgiovo]

"Tipper":Io intendevo dire questo: data una serie a termini non negativi, se $\lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} < 1$ allora la serie converge.

Appunto. Io intendevo un altra cosa.

[Goldenboy21]

grazie cmq riesco a trovarmi il raggio di convergenza usando appunto il teorema di d'alembert, ma quando sostituisco la x per verificare se l'intervallo sia chiuso, mi blocco........

[elgiovo]

Ok in tal caso concorderai che il raggio di convergenza $rho=3$. Bisogna verificare se la serie converge in $x=-1$ e in $x=5$, il che è coseguenza del criterio di Leibniz per le serie numeriche.

[Goldenboy21]

ok....quando sostituisco ad x -1 per verificare che la serie converga uso leibniz cioè: la serie per convergere deve soddisfare le 3 condizioni. Ma io mi trovo sia $(-1)^n$ che $(-3)^n$ nella serie quindi il $(-1)^n$ non si deve considerare ma il $(-3)^n$ lo devo considerare ?

[elgiovo]

$(-1)^n(-3)^n=(-1)^n (-1)^n 3^n=(-1)^(2n)3^n$. Oltretutto qui mi ero sbagliato perchè non bisogna utilizzare Leibniz, dal momento che $(-1)^(2n)=1forall n in NN_0$.

[elgiovo]

Per cui $lim_(n to oo) ((-1)^n n (-3)^n)/(3^n (2n^4+1))=lim_(n to oo) n/(2n^4+1)=0$. L'altro caso è analogo. La serie converge per $x in [-1,5]$.

[Goldenboy21]

grazie tante per la tua disponibilità. alla fine le cose più semplici e banali ti bloccano......eheheheh
ciao

[elgiovo]

Di niente. Ciao.