Serie di potenze

[Raulzx]

Determinare il raggio di convergenza e stabilire se converge anche agli estremi:
$sum_(n=0)^(oo)(sqrt(n^4+1)-n)(x-1)^n

Io ho fatto:
$x-1=y
$sum_(n=0)^(oo)(sqrt(n^4+1)-n)y^n

$lim_(nrarroo)|sqrt(n^4+1)-n|^(1/n) = 1
Raggio di convergenza=1

$|x-1|<1
quindi l'insieme esce $0

Estremo $x=0
$(-1)^n(sqrt(n^4+1)-n)
uso il criterio di Leibniz:
$lim_(nrarroo)sqrt(n^4+1)-n= oo
giusto? La seconda ipotesi di L. sarebbe vedere se è decrescente, ma nn è vericata la prima, quindi nn la faccio. Quindi non converge nel primo estremo


Estremo $x=2
$(1)^n(sqrt(n^4+1)-n)
$lim_(nrarroo)sqrt(n^4+1)-n= oo
non può convergere nel 2° estremo
E' giusto? Grazie!

[Luca.Lussardi]

Le conclusioni sono giuste ma hai commesso un errore logico: ti sei appellato al Criterio di Leibniz che è una condizione sufficiente per la convergenza, invece tu lo hai usato al contrario.

Basta comunque osservare, come hai già fatto, che agli estremi di $[0,2]$ il termine generale della serie non ammette limite, ed è quindi violata la condizione necessaria di convergenza.

[Raulzx]

Grazie!