Serie di potenze
Buongiorno, vorrei avere un aiuto per risolvere questa serie di potenza:
Sum(n=1 a infinito) (-1^n)*(nx^(2n-1)).
So calcolarmi il raggio di convergenza: r=( lim n—>infinito(n+1/n))^-1=1 la serie converge per (-1,1) non converge agli estremi.
Ora dovrei calcolare la somma della serie data, qualcuno sa aiutarmi?
Grazie!!
Sum(n=1 a infinito) (-1^n)*(nx^(2n-1)).
So calcolarmi il raggio di convergenza: r=( lim n—>infinito(n+1/n))^-1=1 la serie converge per (-1,1) non converge agli estremi.
Ora dovrei calcolare la somma della serie data, qualcuno sa aiutarmi?
Grazie!!
Risposte
\(\sum_{n=1}^\infty (-1)^n n x^{2n-1}\), ci voleva molto a scriverla così?
Deriva in $dx$ la funzione \((-1)^n \frac{x^{2n}}{2}\); cosa viene fuori? E a cosa converge \(\sum (-1)^n \frac{z^n}{n}\)?
Deriva in $dx$ la funzione \((-1)^n \frac{x^{2n}}{2}\); cosa viene fuori? E a cosa converge \(\sum (-1)^n \frac{z^n}{n}\)?
Ciao valeri90,
Se ho capito bene, la serie proposta è la seguente:
$\sum_{n = 1}^{+\infty} (-1)^n nx^(2n-1) $
Ora è chiaro che per $x = 0 $ la serie proposta converge a $0 $. Per $x \ne 0 $ invece si può scrivere:
$\sum_{n = 1}^{+\infty} (-1)^n nx^(2n-1) = 1/x \sum_{n = 1}^{+\infty} (-1)^n n(x^2)^n = 1/x \sum_{n = 1}^{+\infty} n(- x^2)^n = 1/x \cdot (- x^2)/(x^2 + 1)^2 = - \frac{x}{(x^2 + 1)^2} $
In definitiva per la serie proposta si ha:
$\sum_{n = 1}^{+\infty} (-1)^n nx^(2n-1) = {(0 \qquad \qquad \qquad \text{ per } x = 0),(- \frac{x}{(x^2 + 1)^2} \text{ per } |x| < 1 \text{, } x \ne 0):} $
Se ho capito bene, la serie proposta è la seguente:
$\sum_{n = 1}^{+\infty} (-1)^n nx^(2n-1) $
Ora è chiaro che per $x = 0 $ la serie proposta converge a $0 $. Per $x \ne 0 $ invece si può scrivere:
$\sum_{n = 1}^{+\infty} (-1)^n nx^(2n-1) = 1/x \sum_{n = 1}^{+\infty} (-1)^n n(x^2)^n = 1/x \sum_{n = 1}^{+\infty} n(- x^2)^n = 1/x \cdot (- x^2)/(x^2 + 1)^2 = - \frac{x}{(x^2 + 1)^2} $
In definitiva per la serie proposta si ha:
$\sum_{n = 1}^{+\infty} (-1)^n nx^(2n-1) = {(0 \qquad \qquad \qquad \text{ per } x = 0),(- \frac{x}{(x^2 + 1)^2} \text{ per } |x| < 1 \text{, } x \ne 0):} $
Buongiorno, @caulacau mi dispiace ma da cellulare non ci sono riuscita. @pilloeffe grazie mille ora è tutto molto più chiaro!
Buongiorno, volevo comunicare che sono stata dalla professoressa e la soluzione proposta é sbagliata in quanto si risve col teorema di derivazione con procedimento totalmente diverso anche se il risultato è lo stesso.
"valeri90":
volevo comunicare che sono stata dalla professoressa e la soluzione proposta é sbagliata in quanto si risolve col teorema di derivazione con procedimento totalmente diverso anche se il risultato è lo stesso
E cosa crede che abbia usato la tua professoressa?
$\sum_{n = 0}^{+\infty} y^n = 1/(1 - y) $
Derivando si ha:
$\sum_{n = 1} n y^{n - 1} = 1/y \sum_{n = 1}^{+\infty} n y^n = 1/(1 - y)^2 \implies \sum_{n = 1}^{+\infty} n y^n = y/(1 - y)^2 $
per $|y| < 1 $. Basta porre $y := - x^2 $ e abbiamo finito.
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