Serie di potenze
Salve, ho poca dimestichezza ancora con le serie (di potenze in questo caso), e mi farebbe comodo una mano in qualche passaggio.
Ho da calcolare convergenza puntuale e totale e calcolare la somma della serie:
$ sum_(k = 1)^(+oo) k((x-1)/(2x+4))^(k-1)$
Ho proceduto ponendo $(x-1)/(2x+4)=y$, quindi studio equivalentemente la serie
$ sum_(k = 1)^(+oo) k(y)^(k-1)$
Questa nuova serie ha centro in $y_0=0$.
Applico il criterio del rapporto ed ho che il limite vale $1$, e $R=1/1=1$
Posso dire in via preliminare che la seconda serie converge puntualmente per $y-y_0 = y in (-1,1)$
Quindi devo fare la verifica degli estremi che possono essere anche essi punti di convergenza puntuale.
A sinistra pongo $y=-1$ ed ho
$ sum_(k = 1)^(+oo) k(-1)^(k-1)$
ma ora qui non saprei cosa utilizzare. Grazie!
Ho da calcolare convergenza puntuale e totale e calcolare la somma della serie:
$ sum_(k = 1)^(+oo) k((x-1)/(2x+4))^(k-1)$
Ho proceduto ponendo $(x-1)/(2x+4)=y$, quindi studio equivalentemente la serie
$ sum_(k = 1)^(+oo) k(y)^(k-1)$
Questa nuova serie ha centro in $y_0=0$.
Applico il criterio del rapporto ed ho che il limite vale $1$, e $R=1/1=1$
Posso dire in via preliminare che la seconda serie converge puntualmente per $y-y_0 = y in (-1,1)$
Quindi devo fare la verifica degli estremi che possono essere anche essi punti di convergenza puntuale.
A sinistra pongo $y=-1$ ed ho
$ sum_(k = 1)^(+oo) k(-1)^(k-1)$
ma ora qui non saprei cosa utilizzare. Grazie!
Risposte
Una condizione necessaria affinchè una serie converga è che i suoi termini tendano a $0$, ma chiaramente non è il tuo caso.
Ciao Jaeger90,
Come probabilmente sai si ha:
$1/(1 - y) = \sum_{k = 0}^{+\infty} y^k \qquad \text{ per } |y| < 1 $
Derivando entrambi i membri si ha:
$ 1/(1 - y)^2 = \sum_{k = 1}^{+\infty} ky^{k - 1} $
per $|y| < 1 $. Inutile andare a vedere che cosa accade per $y = 1 $ o per $y = - 1 $, perché il comportamento della serie proposta sarà analogo a quello della serie geometrica (quindi non convergente).
"Jaeger90":
[...] calcolare la somma della serie:
Come probabilmente sai si ha:
$1/(1 - y) = \sum_{k = 0}^{+\infty} y^k \qquad \text{ per } |y| < 1 $
Derivando entrambi i membri si ha:
$ 1/(1 - y)^2 = \sum_{k = 1}^{+\infty} ky^{k - 1} $
per $|y| < 1 $. Inutile andare a vedere che cosa accade per $y = 1 $ o per $y = - 1 $, perché il comportamento della serie proposta sarà analogo a quello della serie geometrica (quindi non convergente).
"pilloeffe":
Inutile andare a vedere che cosa accade per $y = 1 $ o per $y = - 1 $, perché il comportamento della serie proposta sarà analogo a quello della serie geometrica (quindi non convergente).
Come mi posso ricondurre alla serie geometrica, avendo, oltre al $k-1$ come esponente, un $k$ moltiplicato per la funzione?
"Jaeger90":
Come mi posso ricondurre alla serie geometrica [...]
Non ti devi ricondurre alla serie geometrica: devi derivare il primo membro $(1/(1 - y))$ ed il secondo membro $(\sum_{k = 0}^{+\infty} y^k)$ come ti ho spiegato...
"pilloeffe":
Non ti devi ricondurre alla serie geometrica: devi derivare il primo membro $(1/(1 - y))$ ed il secondo membro $(\sum_{k = 0}^{+\infty} y^k)$ come ti ho spiegato...
Vedo che hai usato il teorema di derivazione.
Esso dice che una serie e la sua derivata hanno lo stesso raggio di convergenza.
Tuttavia mi sembra una cosa molto "teorica", quindi per quale motivo lo stesso raggio di convergenza implica lo stesso andamento nello stesso intervallo sempre e comunque?
Non avevo trovato questa conseguenza da alcuna parte.
Dopotutto una volta fatta la derivata i termini $y$ ed $y_0$ cambiano, quindi mi sembra "strano".
Grazie.
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