Serie di potenze

[Cobra9200]

Sto dando un'occhiata ad alcuni esercizi svolti ma con questo non mi trovo :

$ sum((x^k/((k+1)2^k)) $ con k=0 a + inf, appurato che ak = $ (1/((k+1)2^k)) $ l'esercizio viene svolto ->

lim k->+inf di $ (1/((k+2)2^(k+1))) \cdot 2^k(k+1) $ e poi -> 1/2 e quindi rho(raggio di convegenza) = 2 . Il problema è che non capisco come viene il secondo limite , quindi con k+2 etc :/

Inoltre non ho ben capito perchè in alcuni esercizi si sostituisce a x^k il valore di x .

[pilloeffe]

Ciao Cobra9200,

Mah, non ci vedo niente di strano, mi pare la semplice applicazione del criterio del rapporto...
Posto $a_k := 1/((k + 1) 2^k) $ si ha:

$\lim_{k \to +infty} \frac{a_{k + 1}}{a_k} = \lim_{k \to +infty} \frac{1/((k + 2) 2^{k + 1}) }{1/((k + 1) 2^k) } = \lim_{k \to +infty} 1/((k + 2) 2^{k + 1}) \cdot (k + 1) 2^k = 1/2 $

Posto poi $y := x/2 $, non è neanche difficile trovare la somma della serie proposta:

$\sum_{k = 0}^{+\infty} x^k/((k + 1) 2^k) = {(- \frac{ln(1 - x/2)}{x/2} \text{ per } |x | < 2 \text{, } x \ne 0),(0 \text{ per } x=0):} $

[Cobra9200]

grazie gentilissimo