Serie di potenze
$\sum_{n=1}^(+infty) (n(x^2+x)^n)/(2^(n+1))$
Allora ho questa serie in cui mi creo il termine $x^n$ ponendo $(x^2+x)=y$
Svolgo la serie normalmente...con d'Alambert e ottengo $r=2$
Ora il mio dubbio ma calcolarmi l'intervallo di convergenza devo porre $|y|<2$ cioè $-2
Che svolgendo mi viene $-2
Faccio questa domanda perché la mia professoressa svolgendo l'esercizio ha anche trovato convergenza uniforme in $I=(-2;1)$
Allora ho questa serie in cui mi creo il termine $x^n$ ponendo $(x^2+x)=y$
Svolgo la serie normalmente...con d'Alambert e ottengo $r=2$
Ora il mio dubbio ma calcolarmi l'intervallo di convergenza devo porre $|y|<2$ cioè $-2
Che svolgendo mi viene $-2
Faccio questa domanda perché la mia professoressa svolgendo l'esercizio ha anche trovato convergenza uniforme in $I=(-2;1)$
Risposte
Ciao lepre561,
Invece perché non scrivi
$ \sum_{n=1}^(+infty) (n(x^2+x)^n)/(2^(n+1)) = 1/2 \sum_{n=1}^(+infty) (n(x^2+x)^n)/2^n $
e non poni molto più astutamente $y := (x^2+x)/2 $ in modo da avere semplicemente $ \sum_{n=1}^(+infty) ny^n $?
Invece perché non scrivi
$ \sum_{n=1}^(+infty) (n(x^2+x)^n)/(2^(n+1)) = 1/2 \sum_{n=1}^(+infty) (n(x^2+x)^n)/2^n $
e non poni molto più astutamente $y := (x^2+x)/2 $ in modo da avere semplicemente $ \sum_{n=1}^(+infty) ny^n $?
Ok ringrazio per il suggerimento...ma quello che ho scritto va bene??
Certamente si ha
$ \sum_{n=1}^(+infty) ny^n = \frac{y}{(y - 1)^2} $
per $ |y| < 1 \implies |\frac{x^2 + x}{2}|< 1 \implies |x^2 + x |< 2 \implies - 2 < x < 1 $
Hai ottenuto lo stesso risultato della tua professoressa, perché scrivi
Non è lo stesso intervallo che hai trovato anche tu?
$ \sum_{n=1}^(+infty) ny^n = \frac{y}{(y - 1)^2} $
per $ |y| < 1 \implies |\frac{x^2 + x}{2}|< 1 \implies |x^2 + x |< 2 \implies - 2 < x < 1 $
Hai ottenuto lo stesso risultato della tua professoressa, perché scrivi
"lepre561":
la mia professoressa svolgendo l'esercizio ha anche trovato convergenza uniforme in $I=(−2;1)$
Non è lo stesso intervallo che hai trovato anche tu?
Ah scusa volevo dire $I=(-2;2)$
L'intervallo corretto è $ I = (- 2, 1) $.
Ok ma la convergenza è uniforme? perché la prof ha scritto detto che è puntuale...
Scusa ma nel post iniziale hai scritto esattamente il contrario:
Quale accendiamo? L'ha scritto o l'ha detto?
Comunque si ha:
Convergenza assoluta puntuale $\implies $ Convergenza puntuale
[tex]\qquad \qquad \Uparrow[/tex] [tex]\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \Uparrow[/tex]
Convergenza assoluta uniforme $\implies $ Convergenza uniforme
[tex]\qquad \qquad \Uparrow[/tex]
Convergenza totale
"lepre561":
la mia professoressa svolgendo l'esercizio ha anche trovato convergenza uniforme in $I=(−2;1) $
"lepre561":
perché la prof ha scritto detto che è puntuale...
Quale accendiamo? L'ha scritto o l'ha detto?
Comunque si ha:
Convergenza assoluta puntuale $\implies $ Convergenza puntuale
[tex]\qquad \qquad \Uparrow[/tex] [tex]\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \Uparrow[/tex]
Convergenza assoluta uniforme $\implies $ Convergenza uniforme
[tex]\qquad \qquad \Uparrow[/tex]
Convergenza totale
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