Serie di potenze
Buongiorno!
premetto che ho fatto molti esercizi sulle serie di potenze per quanto riguarda lo studio della loro convergenza. ma qualche volta mi sono imbattuto in serie come $\sum (x^n/(n^2+x^n)) $ oppure $ \sum(x^n/(1+nx^2)) $ che non riesco a ricondurre alla forma $ \sum(an * (x)^n) $ per poi poterla studiare.
credo sia molto una questione di manipolazione algebrica…
se avete consigli anche per affrontare "semplificazioni" anche su serie diverse sono ben accetti!
premetto che ho fatto molti esercizi sulle serie di potenze per quanto riguarda lo studio della loro convergenza. ma qualche volta mi sono imbattuto in serie come $\sum (x^n/(n^2+x^n)) $ oppure $ \sum(x^n/(1+nx^2)) $ che non riesco a ricondurre alla forma $ \sum(an * (x)^n) $ per poi poterla studiare.
credo sia molto una questione di manipolazione algebrica…
se avete consigli anche per affrontare "semplificazioni" anche su serie diverse sono ben accetti!
Risposte
Mica sempre è possibile, come ad esempio in quei casi.
Ti tocca studiarle con le tecniche che conosci per studiare le serie di funzioni.
Ti tocca studiarle con le tecniche che conosci per studiare le serie di funzioni.
A quali tecniche ti riferisci?
qualcuno saprebbe risolverlo esplicitamente?
Quella non è una serie di potenze, si può stabilire a che funzione converga (puntualmente o uniformemente) la serie di funzioni che scrivi, ma è possibile, in effetti assai probabile, non abbia una scrittura esplicita in termini di funzioni elementari.
forse sto iniziando a capire… ma come faccio a distinguere queste dalle serie di potenze?
Le serie di potenze sono particolari serie di funzioni, che si possono scrivere nella forma
\[
f(z) = \sum_{n=n_0}^\infty a_n z^n
\] dove $n_0\in \mathbb N$ e $n\mapsto a_n$ è una successione di numeri complessi. Le serie di funzioni sono oggetti decisamente più generali (sebbene sia vero che limitandosi a funzioni olomorfe la differenza non sia sostanziale ma solo formale).
In effetti, a rigore, è -innocuo, ma- sbagliato confondere una serie di potenze con la funzione che essa definisce. La serie è un elemento dell'anello \(\mathbb C[\![ z]\!]\), il quale eredita da $\mathbb C$ una topologia, che definisce quali serie sono convergenti (e rispetto a quale struttura: ce ne sono diverse di inequivalenti). Una scelta canonica -non l'unica- è sfruttare la completezza di $\mathbb C$ come spazio metrico.
\[
f(z) = \sum_{n=n_0}^\infty a_n z^n
\] dove $n_0\in \mathbb N$ e $n\mapsto a_n$ è una successione di numeri complessi. Le serie di funzioni sono oggetti decisamente più generali (sebbene sia vero che limitandosi a funzioni olomorfe la differenza non sia sostanziale ma solo formale).
In effetti, a rigore, è -innocuo, ma- sbagliato confondere una serie di potenze con la funzione che essa definisce. La serie è un elemento dell'anello \(\mathbb C[\![ z]\!]\), il quale eredita da $\mathbb C$ una topologia, che definisce quali serie sono convergenti (e rispetto a quale struttura: ce ne sono diverse di inequivalenti). Una scelta canonica -non l'unica- è sfruttare la completezza di $\mathbb C$ come spazio metrico.
Il problema è che non so comunque come si risolva l'esercizio
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