Serie di potenze
Salve a tutti avrei qualche dubbio sulle serie di potenze nelle quali ci si riconduce a serie "più comode" . Faccio un esempio:
$sum_(n=1)^(infty)(x-1)^(2n)/(2^n*n^3$ $(#)$
1. E' lecito porre ad esempio $(x-1)^(2n)=t$ e risolvere $sum_(n=1)^(infty) t^(n)/(2^n*n^3$ $(##)$
2. Se si, una volta trovati gli intervalli all'interno della quale converge la $(##)$ questi poi saranno gli stessi intervalli in cui convergerà la $(#)$?
Grazie per l'attenzione!
$sum_(n=1)^(infty)(x-1)^(2n)/(2^n*n^3$ $(#)$
1. E' lecito porre ad esempio $(x-1)^(2n)=t$ e risolvere $sum_(n=1)^(infty) t^(n)/(2^n*n^3$ $(##)$
2. Se si, una volta trovati gli intervalli all'interno della quale converge la $(##)$ questi poi saranno gli stessi intervalli in cui convergerà la $(#)$?
Grazie per l'attenzione!
Risposte
la risposta mi sembra essere no ad entrambi i punti.
1. se poni la $t$ in quel modo ottieni $ sum_(n=1)^(infty) t/(2^n*n^3 $.
ciò che puoi fare è sostituire $t=(x-1)^2$ e poi calcoli il raggio di convergenza della serie $(# #)$
2. poni il caso che il raggio della serie di potenze del punto 1 sia R=2. cosa significa? che la serie con la variabile t (e non x come in partenza) converge in $(-2,2)$. allora la serie di partenza convergerà per $-2< (x-1)^2 < 2$
1. se poni la $t$ in quel modo ottieni $ sum_(n=1)^(infty) t/(2^n*n^3 $.
ciò che puoi fare è sostituire $t=(x-1)^2$ e poi calcoli il raggio di convergenza della serie $(# #)$
2. poni il caso che il raggio della serie di potenze del punto 1 sia R=2. cosa significa? che la serie con la variabile t (e non x come in partenza) converge in $(-2,2)$. allora la serie di partenza convergerà per $-2< (x-1)^2 < 2$
Scusami non credo di aver capito bene .. anche io ero arrivato alla soluzione che la serie $(#)$ converge per $|x-1|^2<2$ ma non ho capito se è giusto o meno. È lecita quella posizione che ho fatto?
Ok che non sono gli stessi intervalli l'ho capito poco dopo che ho postato la domanda!
quindi tutto chiaro? il raggio si mi sembra 2 anche se prima avevo sparato un numero totalmente a caso per fare un esempio. 
Si il raggio è proprio 2.. ma mi è sorto un dubbio ... io sono in questa condizione $-2<(x-1)^2<2$ Volendo esplicitare la $x$ non è un problema il $-2$ sotto radice?
$|x-1| \leq \sqrt{2} \Rightarrow 1-\sqrt{2} \leq x \leq 1+\sqrt{2}$
L'uguaglianza vale poiché $\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^3}=\zeta(3) < +\infty$
L'uguaglianza vale poiché $\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^3}=\zeta(3) < +\infty$
Non dovrebbe stare anche il meno sotto la radice?
È chiaro che un numero reale elevato ad una potenza pari è non negativo dunque nella disuguaglianza $0 \leq |\frac{(x-1)^2}{2}| \leq 1$ il modulo non è necessario, quindi $0 \leq \frac{(x-1)^2}{2} \leq 1 \Rightarrow 0 \leq (x-1)^2 \leq 2$ (quindi il -2 non c'è).
Ricordiamo che $x^2 \leq y \Rightarrow |x| \leq \sqrt{y}$ da cui segue quello che ho scritto prima...
Ricordiamo che $x^2 \leq y \Rightarrow |x| \leq \sqrt{y}$ da cui segue quello che ho scritto prima...
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