Serie di Potenze

[Elena9612]

Salve a tutti!
Attualmente sto frequentando il corso di Analisi Matematica 1 e tra poco avrò l'esonero su limiti di funzioni e serie di potenze. Quest'ultime sarebbero argomento di Analisi Matematica 2 perciò il professore ci ha dato una spiegazione diversa da quella che vedo su internet. Ciò che ci ha detto è:
Sia $ sum_(n = 1) (a_nx^n) $ (somma infinita)
Trovando il Raggio di Convergenza:
$ R=1/(maxlim_(n->oo)root(n)(an $
sappiamo che se:
$ |x| $ la serie converge assolutamente
$ |x|>R => $ la serie non converge
$ |x|=R $ non si può dire nulla a priori


So quindi che dopo aver trovato il raggio di convergenza devo distinguere diversi casi e poi studiarne la serie associata. Il mio problema sta proprio qui. Come scelgo i criteri da utilizzare avendo un parametro x^n che varia nei casi?

Vi faccio un esempio con un esercizio concreto :

$ sum_(n = 1) n^lnn/2^n x^n $

Come si svolge?
Vi ringrazio in anticipo!
Colgo l'occasione per augurarvi Buon Anno!

[quantunquemente]

prima di tutto,toglierei quel $max$ dalla formula ,perchè non ha molto senso
poi,poniamo $a_n=e^ln(n^(lnn))/2^n=e^(ln^2n)/2^n$
$ lim_(n -> +infty) root(n)(a_n) =lim_(n -> +infty)e^(ln^2n/n)/2=1/2 $
quindi,$R=2$
allora,per $|x|<2$ la serie converge,per $|x|>2$ la serie non converge
vedi se riesci a dire qualcosa per $|x|=2$

[Elena9612]

Sì fin qui ci sono riuscita. Il risultato del libro è che la serie converge per ogni x in R. Non capisco cosa significhi visto che il teorema mi dice che converge se |x|

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[quantunquemente]

"Elena96":Il risultato del libro è che la serie converge per ogni x in R.

il che mi sembra una colossale sciocchezza
ad esempio,per $x=2$ hai la serie di termine generale $n^(lnn)$,che diverge alla grande
per non parlare poi di quello che succede per $x>2$

[Elena9612]

Esatto non riesco proprio capire come mai ci sia scritto così. Il testo dell esercizio è dire per quali x convergono le seguenti serie di potenze. Risultato della prima: x (appartente a ) R.

[quantunquemente]

non scartiamo l'ipotesi "errore di stampa"

[Elena9612]

Mh... allora io suggerirei di fare altri esercizi. Se i risultati non dovessero coincidere ancora ne dedurrò che il problema sono io e commenterò qui gli esercizi. Grazie ancora

[gugo82]

@quantunquemente:

"quantunquemente":prima di tutto,toglierei quel $max$ dalla formula ,perchè non ha molto senso

Ha senso, ha tantissimo senso... Studiando come si deve la teoria delle serie di potenze ci si accorge che il raggio di convergenza della serie è proprio uguale al reciproco (inteso in senso "generalizzato"[nota]Cioè, ponendo per convenzione \(\frac{1}{0}=\infty\) e \(\frac{1}{\infty} = 0\).[/nota]) del massimo limite della successione di termine generale \(\sqrt[n]{|a_n|}\), cioè vale la formula:
\[
\rho = \frac{1}{\operatorname{maxlim}_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}}\; .
\]
Questo è quello che usualmente si chiama Criterio (o Teorema) di Cauchy-Hadamard ed è una condizione più generale del cosiddetto Criterio della Radice per la determinazione del raggio di convergenza: infatti, quest'ultimo criterio vale solo nell'ipotesi in cui la successione di termine generale \(\sqrt[n]{|a_n|}\) è regolare, mentre il crtiterio di C-H è sempre valido.

Prima di discettare sulla mancanza di "senso", sarebbe meglio documentarsi a fondo.

[quantunquemente]

ne prendo atto
confesso di non aver proprio confidenza con il termine "massimo limite"

p.s . credo,lo dico più che altro per conto dell'utente,che in questo caso il limite puro e crudo vada bene
altrimenti,correggete pure

[Rigel1]

Intervengo solo per dire che quanto qui denotato con \(\text{maxlim}\) viene spesso indicato con \(\limsup\). E' possibile che questo abbia tratto in inganno quantunquemente.

[quantunquemente]

no ,Rigel,sei troppo buono : a parte il fatto che io di solito uso il criterio del rapporto,in questo caso per me nella formula era da usare brutalmente il limite e basta
mea culpa

[quantunquemente]

sempre a beneficio dell'utente che ha fatto la domanda
mi sono documentato
nel nostro caso la successione $|a_n|$ ha limite e quindi quello che abbiamo detto vale
altrimenti,bisogna valutare $lim su p root(n)(|a_n| )$