Serie di potenze
Ciao a tutti!
Devo trovare l'insieme di convergenza puntuale della seguente serie di potenze:
$\sum_{n=0}^infty (-1)^n * (2^n x^(2n+2))/(2n + 2)$
quindi utilizzando il criterio del rapporto calcolo il limite $\lim_{n \to \infty} (2^(n+1)/ (2(n+1) +2)) *( (2n +2) /2^n) = 2$ e perciò il raggio di convergenza é $r=1/2$ e cioè l'insieme di convergenza puntuale è l'intervallo $(-1/2, 1/2)$
Il risultato però dovrebbe essere $(-1/sqrt2, 1/sqrt2)$, cosa ho sbagliato?
Grazie
Devo trovare l'insieme di convergenza puntuale della seguente serie di potenze:
$\sum_{n=0}^infty (-1)^n * (2^n x^(2n+2))/(2n + 2)$
quindi utilizzando il criterio del rapporto calcolo il limite $\lim_{n \to \infty} (2^(n+1)/ (2(n+1) +2)) *( (2n +2) /2^n) = 2$ e perciò il raggio di convergenza é $r=1/2$ e cioè l'insieme di convergenza puntuale è l'intervallo $(-1/2, 1/2)$
Il risultato però dovrebbe essere $(-1/sqrt2, 1/sqrt2)$, cosa ho sbagliato?
Grazie
Risposte
Se poni $t=x^2$ la serie diventa
$t\sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n\frac{2^n}{2(n+1)}t^n$ come giustamente hai fatto applicando il criterio ti viene che il raggio di convergenza di questa nuova serie è 1/2 ma ritornando a $x$ diventa $1/√2$
$t\sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n\frac{2^n}{2(n+1)}t^n$ come giustamente hai fatto applicando il criterio ti viene che il raggio di convergenza di questa nuova serie è 1/2 ma ritornando a $x$ diventa $1/√2$
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