Serie di potenze
Buongiorno ragazzi,
sto seguendo il corso di Analisi 2 e sono inciampato nelle serie di potenze e sugli estremi di convergenza di queste serie.
Ecco l'esercizio :
Vi spiego un po come ho agito.
Ricavo il centro di convergenza, che è chiaramente $x_0=-1$.
A questo punto, visto che l'espressione non è in una forma standard, pongo $ y=(x+1)^2 $ e procedo con la valutazione del raggio di convergenza. Dopo una serie di calcoli ricavo $ R=1 $ . Da questo punto in poi sono incerto sulla modalità di svolgimento.
In un normale esercizio senza l'uguaglianza $ y=(x+1)^2 $ avrei ricavato gli estremi "graficamente" $ Centro_C \pm R $ e li avrei inseriti nella serie, ottenendone altre due. Nel mio caso ecco lo svolgimento:
$ Estremi=(x_0-R,x_0+R) $ e quindi $ Estremi=(-2,0) $
E le due serie :
$\sum_{n=1}^infty log(1+1/n^2)*(Est_s+1)^(2n) $ ---> $\sum_{n=1}^infty log(1+1/n^2)*(-1)^(2n) $
$\sum_{n=1}^infty log(1+1/n^2)*(Est_d+1)^(2n) $ ---> $\sum_{n=1}^infty log(1+1/n^2)*(1)^(2n) $
Con lo studio di queste due serie avrei dimostrato la convergenza/divergenza negli estremi.
Il mio dubbio nasce dalla sostituzione, e dalle ripercussioni di questa sul raggio e gli estremi. Ricordo che io ponevo $ y=(x+1)^2 $ e la serie di conseguenza mutava in $\sum_{n=1}^infty log(1+1/n^2)*y^n $ con $x_0 = 0$ . Ora una volta ricavato il raggio, devo agire sulla serie nativa(come fatto sopra), o su quella modificata(quindi $ Estremi=(-1,1) $ ecc.) ? Grazie!
sto seguendo il corso di Analisi 2 e sono inciampato nelle serie di potenze e sugli estremi di convergenza di queste serie.
Ecco l'esercizio :
Vi spiego un po come ho agito.
Ricavo il centro di convergenza, che è chiaramente $x_0=-1$.
A questo punto, visto che l'espressione non è in una forma standard, pongo $ y=(x+1)^2 $ e procedo con la valutazione del raggio di convergenza. Dopo una serie di calcoli ricavo $ R=1 $ . Da questo punto in poi sono incerto sulla modalità di svolgimento.
In un normale esercizio senza l'uguaglianza $ y=(x+1)^2 $ avrei ricavato gli estremi "graficamente" $ Centro_C \pm R $ e li avrei inseriti nella serie, ottenendone altre due. Nel mio caso ecco lo svolgimento:
$ Estremi=(x_0-R,x_0+R) $ e quindi $ Estremi=(-2,0) $
E le due serie :
$\sum_{n=1}^infty log(1+1/n^2)*(Est_s+1)^(2n) $ ---> $\sum_{n=1}^infty log(1+1/n^2)*(-1)^(2n) $
$\sum_{n=1}^infty log(1+1/n^2)*(Est_d+1)^(2n) $ ---> $\sum_{n=1}^infty log(1+1/n^2)*(1)^(2n) $
Con lo studio di queste due serie avrei dimostrato la convergenza/divergenza negli estremi.
Il mio dubbio nasce dalla sostituzione, e dalle ripercussioni di questa sul raggio e gli estremi. Ricordo che io ponevo $ y=(x+1)^2 $ e la serie di conseguenza mutava in $\sum_{n=1}^infty log(1+1/n^2)*y^n $ con $x_0 = 0$ . Ora una volta ricavato il raggio, devo agire sulla serie nativa(come fatto sopra), o su quella modificata(quindi $ Estremi=(-1,1) $ ecc.) ? Grazie!
Risposte
Ok, ragazzi ho risolto il mio dubbio grazie ai vecchi post nel forum. Scrivo lo svolgimento giusto ( spero ) per i posteri.
Esercizio:
Trovare il centro,il raggio di convergenza e l'insieme di convergenza della serie
$ \sum_{n=1}^infty log(1+1/n^2)*(x+1)^(2n) $
Il centro di questa serie è chiaramente $ x_0=-1$.
Come è facile vedere non è in forma standard, quindi poniamo $ y=(x+1)^2 $ ottenendo la serie:
$ \sum_{n=1}^infty log(1+1/n^2)*y^n $
Calcoliamo il raggio di convergenza mediante il limite:
$lim_(n->infty)(|(a(n+1))/(an)|)$ e quindi $lim_(n->infty)(log(1+1/(n+1)^2)/(log(1+1/n^2)))$ . Qualche trucchetto con i limiti notevoli e $L=1$.
Ora poniamo per l'insieme di convergenza $(x+1)^2
A questo punto valutiamo la serie ai suoi estremi di convergenza, ottenendo due serie :
$ \sum_{n=1}^infty log(1+1/n^2)*(-1)^(2n) $
$ \sum_{n=1}^infty log(1+1/n^2)*(1)^(2n) $
Serie a segni NON variabili.
Ancora qualche trucco con i limiti notevoli e criterio del confronto :
$ \sum_{n=1}^infty ((log(1+1/n^2))/(1/n^2)) *1/n^2 <= \sum_{n=1}^infty 1/n^2$
E quindi, serie armonica generalizzata . Quindi convergenza.
Se ho sbagliato qualcosa, vi scongiuro di avvertirmi! Ciao!
Esercizio:
Trovare il centro,il raggio di convergenza e l'insieme di convergenza della serie
$ \sum_{n=1}^infty log(1+1/n^2)*(x+1)^(2n) $
Il centro di questa serie è chiaramente $ x_0=-1$.
Come è facile vedere non è in forma standard, quindi poniamo $ y=(x+1)^2 $ ottenendo la serie:
$ \sum_{n=1}^infty log(1+1/n^2)*y^n $
Calcoliamo il raggio di convergenza mediante il limite:
$lim_(n->infty)(|(a(n+1))/(an)|)$ e quindi $lim_(n->infty)(log(1+1/(n+1)^2)/(log(1+1/n^2)))$ . Qualche trucchetto con i limiti notevoli e $L=1$.
Ora poniamo per l'insieme di convergenza $(x+1)^2
A questo punto valutiamo la serie ai suoi estremi di convergenza, ottenendo due serie :
$ \sum_{n=1}^infty log(1+1/n^2)*(-1)^(2n) $
$ \sum_{n=1}^infty log(1+1/n^2)*(1)^(2n) $
Serie a segni NON variabili.
Ancora qualche trucco con i limiti notevoli e criterio del confronto :
$ \sum_{n=1}^infty ((log(1+1/n^2))/(1/n^2)) *1/n^2 <= \sum_{n=1}^infty 1/n^2$
E quindi, serie armonica generalizzata . Quindi convergenza.
Se ho sbagliato qualcosa, vi scongiuro di avvertirmi! Ciao!
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