Serie di potenze

[cmarghec-votailprof]

si consideri la serie di potenze :

$\sum_{n=1}^\infty (n^2+1)^(n/logn)x^n$

Determinare il raggio di convergenza e si studi il suo comportamento agli estremi dell'intervallo.

Per determinare il raggio di convergenza ho applicato il criterio derivante dal teorema di Cauchy-Hadamard in questo modo :
$lim_(ntoinfty) sqrt{(n^2+1)^(n/logn)}=1=l$

da cui il raggio di convergenza $r=1/l=1$

come procedo con lo studio agli estremi???

[Clorinda1]

"megh88":si consideri la serie di potenze :

$\sum_{n=1}^\infty (n^2+1)^(n/logn)x^n$

Determinare il raggio di convergenza e si studi il suo comportamento agli estremi dell'intervallo.

Per determinare il raggio di convergenza ho applicato il criterio derivante dal teorema di Cauchy-Hadamard in questo modo :
$lim_(ntoinfty) sqrt{(n^2+1)^(n/logn)}=1=l$

da cui il raggio di convergenza $r=1/l=1$

come procedo con lo studio agli estremi???

Hai trovato l'insieme $(-1,1)$ ovvero l'insieme di raggio $1$ centrato nell'origine.
Ora devi capire cosa succede nei punti $x=1$ e $x=-1$.
Quindi sostituisci $x=1$ al posto della $x$ nella serie $\sum_{n=1}^\infty (n^2+1)^(n/logn)x^n$ e la studi come una serie numerica.
Se converge allora l'estremo $x=1$ è incluso nell'intervallo di convergenza della serie.
Analogamente per $x=-1$