Serie di potenze
Salve!
sono alle prese con l' esame di analisi 2 a ingegneria e ho notevoli problemi con tutto cio che riguarda le successioni e le serie di funzioni, ad esempio questa serie di potenze...
$ sum(n^3arctan(5n) ) / (2n^5)z^n, zin C $
per trovare il raggio di convergenza applico il criterio della radice, ma prima noto che il denominatore è asintotico a $ 2n^5 $
per cui $ root(n)((n^3arctan(5n) ) / (2n^5)) =root(n)(arctan(5n))/(root(n)2root(n)(n^5))=1 $ per cui da come ho capito dalla teoria ho convergenza puntuale sul cerchio aperto di raggio 1 nel piano di gauss
ora studio i punti sulla circonferenza, allora...essendo $ |z|=1 $ allora $ |(n^3arctan (5n))/(2n^5+ln (1+2n))z^n| <= |(n^3arctan (5n))/(2n^5+ln (1+2n))| <= |Pi /2(n^3)/(2n^5+ln (1+2n))| $ per cui studiando questa serie $ Pi/2sum(n^3)/(2n^5+ln (1+2n))~ Pi/2sum(n^3)/(2n^5)=Pi/4 sum1/n^2 $ vedo che converge, per cui converge anche la serie di partenza, per cui c'è convergenza puntuale su tutti i punti della circonferenza e per cui c'è convergenza uniforme su tutto il cerchio. Giusto?
sono alle prese con l' esame di analisi 2 a ingegneria e ho notevoli problemi con tutto cio che riguarda le successioni e le serie di funzioni, ad esempio questa serie di potenze...
$ sum(n^3arctan(5n) ) / (2n^5)z^n, zin C $
per trovare il raggio di convergenza applico il criterio della radice, ma prima noto che il denominatore è asintotico a $ 2n^5 $
per cui $ root(n)((n^3arctan(5n) ) / (2n^5)) =root(n)(arctan(5n))/(root(n)2root(n)(n^5))=1 $ per cui da come ho capito dalla teoria ho convergenza puntuale sul cerchio aperto di raggio 1 nel piano di gauss
ora studio i punti sulla circonferenza, allora...essendo $ |z|=1 $ allora $ |(n^3arctan (5n))/(2n^5+ln (1+2n))z^n| <= |(n^3arctan (5n))/(2n^5+ln (1+2n))| <= |Pi /2(n^3)/(2n^5+ln (1+2n))| $ per cui studiando questa serie $ Pi/2sum(n^3)/(2n^5+ln (1+2n))~ Pi/2sum(n^3)/(2n^5)=Pi/4 sum1/n^2 $ vedo che converge, per cui converge anche la serie di partenza, per cui c'è convergenza puntuale su tutti i punti della circonferenza e per cui c'è convergenza uniforme su tutto il cerchio. Giusto?
Risposte
Preliminarmente: da dove spunta quel \(\ln(1+2n)\) a denominatore?
Cavolo che sbadato...scusate!! il denominatore è $ 2n^5+ln(1+2n) $
Ok. Tornando a monte la serie di potenze da studiare è quindi \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^3 \arctan(5n)}{2n^5 + \ln(1+2n)}z^n\).
L'inverso del raggio di convergenza, sulla via per il criterio di Cauchy-Hadamard, risulta essere \[\frac{1}{R}=\lim_{n \to \infty} \sup \sqrt[n]{|a_n|}= \lim_{n \to \infty} \sup \sqrt[n]{ \frac{n^3 \arctan(5n)}{2n^5 + \ln(1+2n)}} \]
Volendo poi fare le cose per bene, dovresti a mio avviso osservare che definitivamente vale \[\frac{1}{3n^2}=\frac{n^3}{3n^5} \le \frac{n^3 \arctan(5n)}{2n^5 + \ln(1+2n)} \le \frac{ n^3 \pi/2}{2n^5}=\frac{\pi}{4n^2}\]
dove ho utilizzato l'esagerata disuguaglianza \( n^5 > \ln(1 + 2n)\). Per la monotonia della funzione radice, e assumendo noto il limite notevole \(\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n^a}=1\) con \(a>0\), puoi concludere che \(\frac{1}{R}=1\), e quindi \(R=1\).
Per il criterio di Cauchy-Hadamard si ha pertanto che:
1. La serie di potenze converge assolutamente in ogni punto dell'insieme \( \{ z \in \mathbb{C} \, : \, |z| < 1 \}\);
2. La serie di potenze converge uniformemente su ogni insieme \(A_{\epsilon} = \{z \in \mathbb{C} \, : \, |z| \le \epsilon \}\) con \(\epsilon < 1 \);
3. Non c'è convergenza (nemmeno puntuale) per gli \(z \in \mathbb{C}\) t.c. \(|z|>1\).
Se \(|z|=1\) la tua maggiorazione regge, e c'è convergenza uniforme anche sul bordo del disco per il criterio di Weierstrass per le serie di funzioni (infatti, come hai detto, \( \sup_{|z|=1} |a_n| < \pi/4n^2\), e \(\sum_n \pi/4n^2 < \infty\)).
L'inverso del raggio di convergenza, sulla via per il criterio di Cauchy-Hadamard, risulta essere \[\frac{1}{R}=\lim_{n \to \infty} \sup \sqrt[n]{|a_n|}= \lim_{n \to \infty} \sup \sqrt[n]{ \frac{n^3 \arctan(5n)}{2n^5 + \ln(1+2n)}} \]
Volendo poi fare le cose per bene, dovresti a mio avviso osservare che definitivamente vale \[\frac{1}{3n^2}=\frac{n^3}{3n^5} \le \frac{n^3 \arctan(5n)}{2n^5 + \ln(1+2n)} \le \frac{ n^3 \pi/2}{2n^5}=\frac{\pi}{4n^2}\]
dove ho utilizzato l'esagerata disuguaglianza \( n^5 > \ln(1 + 2n)\). Per la monotonia della funzione radice, e assumendo noto il limite notevole \(\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n^a}=1\) con \(a>0\), puoi concludere che \(\frac{1}{R}=1\), e quindi \(R=1\).
Per il criterio di Cauchy-Hadamard si ha pertanto che:
1. La serie di potenze converge assolutamente in ogni punto dell'insieme \( \{ z \in \mathbb{C} \, : \, |z| < 1 \}\);
2. La serie di potenze converge uniformemente su ogni insieme \(A_{\epsilon} = \{z \in \mathbb{C} \, : \, |z| \le \epsilon \}\) con \(\epsilon < 1 \);
3. Non c'è convergenza (nemmeno puntuale) per gli \(z \in \mathbb{C}\) t.c. \(|z|>1\).
Se \(|z|=1\) la tua maggiorazione regge, e c'è convergenza uniforme anche sul bordo del disco per il criterio di Weierstrass per le serie di funzioni (infatti, come hai detto, \( \sup_{|z|=1} |a_n| < \pi/4n^2\), e \(\sum_n \pi/4n^2 < \infty\)).
ma quindi l' osservazione che ho fatto io, cioè che $ 2n^5 $ è asintotico a $ 2n^5+ln(1+2n) $ non va bene?
Ho un dubbio su un altra serie...
$ sum(nln(n^2+4))/(sin(n)+n^3+1)z^n $
come prima cerco il raggio di convergenza, per cui $ lim_(n -> oo) root(n)((nln(n^2+4))/(sin(n)+n^3+1))=lim_(n -> oo)root(n) ((nln(n^2(1+4/n^2)))/(n^3(1+sin(n)/n^3+1/n^3) $ $ =lim_(n -> oo)root(n) (ln(n^2)/n^2)=0 $ per cui il raggio di convergenza è $ +oo $ e c'è convergenza puntuale per ogni z appartenente ai numeri complessi e c' è convergenza uniforme per ogni compatto contenuto nell'insieme dei numeri complessi.
anche se non sono convinto...
$ sum(nln(n^2+4))/(sin(n)+n^3+1)z^n $
come prima cerco il raggio di convergenza, per cui $ lim_(n -> oo) root(n)((nln(n^2+4))/(sin(n)+n^3+1))=lim_(n -> oo)root(n) ((nln(n^2(1+4/n^2)))/(n^3(1+sin(n)/n^3+1/n^3) $ $ =lim_(n -> oo)root(n) (ln(n^2)/n^2)=0 $ per cui il raggio di convergenza è $ +oo $ e c'è convergenza puntuale per ogni z appartenente ai numeri complessi e c' è convergenza uniforme per ogni compatto contenuto nell'insieme dei numeri complessi.
anche se non sono convinto...
"davidmac":
ma quindi l' osservazione che ho fatto io, cioè che $ 2n^5 $ è asintotico a $ 2n^5+ln(1+2n) $ non va bene?
Sì, va bene lo stesso - in effetti non avevo visto il simbolo \(\sim\), che devi aver copincollato semplicemente come tilde; io sono soltanto passato per un ragionamento che mi sembrava più pulito.
Più tardi cercherò di dirti qualcosa anche intorno all'altra serie.
ok grazie...cmq da come parli pare che qualcosa ho sbagliato nell' altra serie...
"davidmac":
ok grazie...cmq da come parli pare che qualcosa ho sbagliato nell' altra serie...
Visto che oramai son qui: no, in realtà mi sembra tutto ok. Ci sarebbe da ancora da pulire la notazione (in particolare, per esempio, la seconda uguaglianza non è un'uguaglianza), ma il ragionamento è sostanzialmente corretto.
"davidmac":
Ho un dubbio su un altra serie...
$ sum(nln(n^2+4))/(sin(n)+n^3+1)z^n $
come prima cerco il raggio di convergenza, per cui $ lim_(n -> oo) root(n)((nln(n^2+4))/(sin(n)+n^3+1))=lim_(n -> oo)root(n) ((nln(n^2(1+4/n^2)))/(n^3(1+sin(n)/n^3+1/n^3) $ $ =lim_(n -> oo)root(n) (ln(n^2)/n^2)=0 $ per cui il raggio di convergenza è $ +oo $ e c'è convergenza puntuale per ogni z appartenente ai numeri complessi e c' è convergenza uniforme per ogni compatto contenuto nell'insieme dei numeri complessi.
anche se non sono convinto...
No infatti non va... quando vedi delle serie fatte così $\sum f(n)z^n$ i casi sono due: o vedi dentro $f(n)$ che $n$ sta all'esponente da qualche parte e allora cominci a preoccuparti, oppure se vedi che $n$ se ne sta tranquillo alla base, cioè ci sono degli $n^\alpha$, quegli $n^\alpha$ sono innocui e chi detta le regole è $z^n$.
Tutta quella $f(n)$ è fumo negli occhi. sostanzialmente è qualcosa del tipo $1/n^2$ e non ha influenza sulla progressione geometrica di $z^n$.
Immagina di essere a $|z|=10$ e di avere $n=1000$. $z^n$ è una cosa mostruosa, è un numero con 1000 zeri, la $f(n)$ al massimo è qualcosa tipo $1/(1.000.000.000)$ ed è trascurabile rispetto a $z^n$.
Quindi si torna al solito gioco, $|z|\le1$
Ti ho fatto questo discorso pittoresco non perchè la dimostrazione rigorosa non serva, anzi, però se uno sa già dove andare a sbattere la testa ha un grosso vantaggio.
Rettifica a quanto detto/scritto sopra: bada che \(\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{\ln(n^2)}{n^2}}=1 \), quindi devi rivedere le tue posizioni. Considerando il precedente, immagino si tratti di un refuso (che in effetti mi ha tratto in inganno, visto che ho letto solo metà del tuo post).
Edit. Qualcuno mi ha preceduto.
Edit. Qualcuno mi ha preceduto.
scusami ma non ho capito il tuo discorso..cioè in pratica mi stai dicendo che in questa serie il raggio di convergenza non conta nulla? Non riesco a afferrare bene il concetto...
scusate ma io so che $ lim_(n -> oo) ln(n)/n=0 $ per cui mi viene da dire che $ lim_(n -> oo) ln(n^2)/n^2=0 $ dove sbaglio?
scusate ma io so che $ lim_(n -> oo) ln(n)/n=0 $ per cui mi viene da dire che $ lim_(n -> oo) ln(n^2)/n^2=0 $ dove sbaglio?
"davidmac":
[...]
scusate ma io so che $ lim_(n -> oo) ln(n)/n=0 $ per cui mi viene da dire che $ lim_(n -> oo) ln(n^2)/n^2=0 $ dove sbaglio?
Sì, però la radice \(n\)-esima "tira su" verso uno: \[ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{\ln(n^2)}{n^2}} =\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[n]{\ln(n^2)}}{\sqrt[n]{n^2}}=1\] perché, come ho fatto notare qualche post più su \[\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n^a}=1 \quad a>0\]
Similmente si ottiene il risultato per il logaritmo, ricordando che \(\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{p}=1\) con \(p\) reale \(>0\).
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