Serie di potenze
Salve a tutti, ho un problema con le dimostrazioni dei criteri di Cauchy-Hadamard e di D'Alembert per le serie di potenze (a coefficienti reali). Partiamo dall'enunciato:
Sia $ sum_{n=0}^\infty\a_n x^n $ una serie di potenze, $ rho $ il suo raggio di convergenza. Se esiste $ l = lim_n\|a_n|^(1/n) $ (rispettivamente $ lim_n\|a_(n+1)/a_n|$), allora $ rho = 1/l $, dove si pone $1/(+infty) = 0$, $1/0 = +infty$.
I criteri si dimostrano applicando i criteri della radice e del rapporto alle serie dei valori assoluti, per x fissato; in entrambi i casi il limite da calcolare vale $l|x|$, e quindi si conclude che se $|x| < 1/l$ la serie converge, mentre se $|x| > 1/l$ la serie non converge, e che quindi $1/l$ è il raggio di convergenza. Ma in questo modo stiamo stabilendo la convergenza assoluta; dunque quando c'è convergenza assoluta c'è convergenza, ma quando non c'è convergenza assoluta come si fa a trarre tale conclusione?
Sia $ sum_{n=0}^\infty\a_n x^n $ una serie di potenze, $ rho $ il suo raggio di convergenza. Se esiste $ l = lim_n\|a_n|^(1/n) $ (rispettivamente $ lim_n\|a_(n+1)/a_n|$), allora $ rho = 1/l $, dove si pone $1/(+infty) = 0$, $1/0 = +infty$.
I criteri si dimostrano applicando i criteri della radice e del rapporto alle serie dei valori assoluti, per x fissato; in entrambi i casi il limite da calcolare vale $l|x|$, e quindi si conclude che se $|x| < 1/l$ la serie converge, mentre se $|x| > 1/l$ la serie non converge, e che quindi $1/l$ è il raggio di convergenza. Ma in questo modo stiamo stabilendo la convergenza assoluta; dunque quando c'è convergenza assoluta c'è convergenza, ma quando non c'è convergenza assoluta come si fa a trarre tale conclusione?
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