Serie di potenza convergenza totale

[ludwigZero]

ciao
vorrei rivedere con voi questa serie:

$\sum (-1)^(n+1) 2^n/n (x^2 -1)^n$


trovo il raggio di convergenza:

$lim_(n->oo)|(-1)^(n+1) 2^n/n |^(1/n) = 2$

$r=1/2$

$|1-x^2| < 1/2$

a sistema:
$1-x^2 < 1/2$
$1-x^2 > -1/2$

da cui rispettivamente:
$x < -sqrt(2) /2 e x> sqrt(2) /2$

$-sqrt(3) /2 < x < sqrt(3) /2$

messi a sistema viene:
$(-sqrt(3) /2 ;-sqrt(2) /2 ) U (sqrt(2) /2 ;sqrt(3) /2)$

studio agli estremi:
$x=-sqrt(3) /2$ $\sum -1/(2^n n)$ conv.

lo stesso per $x=sqrt(3) /2$

per
$x= sqrt(2) /2$

$\sum (-1)^n /n $ conv.

quindi negli intervalli trovati, la serie conv totalmente....

confermate ?

[sheldon1]

confermo, mi sembra sia giusto, e inoltre dal teorema di abel la serie converge anche uniformemente

[Hadronen]

Tutto corretto, escluso che nella seconda disequazione ottieni $sqrt(3/2)$ non $sqrt(3)/2$. Il teorema che riguarda il disco di convergenza di una serie di potenze ti assicura convergenza totale nel disco.

[ludwigZero]

quindi rifacendo i calcoli è probabile che non esca nemmeno la conv. totale....
per il teorema del disco di convergenza ti riferisci a quando ho trovato l'insieme di convergenza (in soldoni...il sistema)