Serie di potenza con sen(2/n)
Buongiorno avrei bisogno di un aiuto per favore;
l'esercizio chiede di determinare la convvergenza uniforme della seguente serie:
$sum_(n = 1 ) (nsin(2/n))^n(x-1)^n$ (sopra il simbolo di serie dovevo inseirre $+00$ ma nn riesco a trovare un metodo per farlo)
Allora ho inizialmente posto $x-1=y$, successivamente ho calcolato il raggio di convergenza tramite il criterio della radice:
$lim_(n -> +oo) root(n)(((nsin(2/n))^n ) $ = $2$ e quindi mi viene $1/2$
a questo punto posso dire che la serie converge assolutamente e puntualmente nell'intevallo $1/2
nel primo caso per x=1/2 abbiamo la serie:
$sum_(n = 1 ) (nsin(2/n))^n(-1/2)^n$
ma non riesco a capire se converge o no nenmeno usando libnitz in quanto non riesco a stabilire se il temrmine generale della serie sia decrescente (tende a 0) o no!
nel caso di $x=3/2$ abbiamo la serie:
$sum_(n = 1 ) (nsin(2/n))^n(1/2)^n$, ma non riesco a capire se converge o no, ho provato con il criterio della radice ma il risultato è 1 e quindi non posso dire nulla in riguardo alla serie, ho visto che si può provare maggiorando la serie con una di cui ne consociamo l'andamento ad esempio, ma non riesco a farlo e nn riesco a trovare altri metodi
l'esercizio chiede di determinare la convvergenza uniforme della seguente serie:
$sum_(n = 1 ) (nsin(2/n))^n(x-1)^n$ (sopra il simbolo di serie dovevo inseirre $+00$ ma nn riesco a trovare un metodo per farlo)
Allora ho inizialmente posto $x-1=y$, successivamente ho calcolato il raggio di convergenza tramite il criterio della radice:
$lim_(n -> +oo) root(n)(((nsin(2/n))^n ) $ = $2$ e quindi mi viene $1/2$
a questo punto posso dire che la serie converge assolutamente e puntualmente nell'intevallo $1/2
nel primo caso per x=1/2 abbiamo la serie:
$sum_(n = 1 ) (nsin(2/n))^n(-1/2)^n$
ma non riesco a capire se converge o no nenmeno usando libnitz in quanto non riesco a stabilire se il temrmine generale della serie sia decrescente (tende a 0) o no!
nel caso di $x=3/2$ abbiamo la serie:
$sum_(n = 1 ) (nsin(2/n))^n(1/2)^n$, ma non riesco a capire se converge o no, ho provato con il criterio della radice ma il risultato è 1 e quindi non posso dire nulla in riguardo alla serie, ho visto che si può provare maggiorando la serie con una di cui ne consociamo l'andamento ad esempio, ma non riesco a farlo e nn riesco a trovare altri metodi
Risposte
Prova ad usare uno sviluppo asintotico per il seno.
cioè tipo considerare la funzione in questo modo:
$(nsen(2/n))^n/2^n ~ (n/2)^n$ in quando la funzione $sen(x)$ oscilla fra -1 e 1 e dovrei trascurare gli infinito di ordine inferiore?
anzi no pensandoci $sen(2/n)$ tende a 0 per n che tende a infinito, quindi lo escludo? o la funzione viene totalmente diversa da come ho ipotizzato io?
$(nsen(2/n))^n/2^n ~ (n/2)^n$ in quando la funzione $sen(x)$ oscilla fra -1 e 1 e dovrei trascurare gli infinito di ordine inferiore?
anzi no pensandoci $sen(2/n)$ tende a 0 per n che tende a infinito, quindi lo escludo? o la funzione viene totalmente diversa da come ho ipotizzato io?
Così è troppo brutale! \(\sin(\frac 2 n) \to 0\), sfruttando lo sviluppo asintotico vedi che il primo addendo...
Forse ho capito questo caso
allora sappiamo che il $sen(2/n)$ tende a 0 per n che tende a infinito! ma come lo sappiamo?
potremmo ragionare (come ho fatto io inizialmente pensando semplicemente che visto che l'argomento del seno tende a 0 allora il seno di 0 è 0 e quindi eliminarlo del tutto)
ma pensandoci meglio ragionando diversamente:
$lim_(n -> +oo) sen(2/n) =0$ ma posso scriverlo anche così come limite notevole:
$lim_(n -> +oo) sen(2/n) = lim_(n->+oo) (2/n)*(sen(2/n))/(2/n)$ e devo quindi considerare solo il $2/n$ che mi fa diventare il risultato del limite 0?
e la funzione di partenza diverrebbe $(n*(2/n))^n/2^n$ e quindi $1^n/2^n$ e quindi $1/2^n$
è giusto ragionare così?
oppure devo usare lo sviluppo in serie di taylor?
allora sappiamo che il $sen(2/n)$ tende a 0 per n che tende a infinito! ma come lo sappiamo?
potremmo ragionare (come ho fatto io inizialmente pensando semplicemente che visto che l'argomento del seno tende a 0 allora il seno di 0 è 0 e quindi eliminarlo del tutto)
ma pensandoci meglio ragionando diversamente:
$lim_(n -> +oo) sen(2/n) =0$ ma posso scriverlo anche così come limite notevole:
$lim_(n -> +oo) sen(2/n) = lim_(n->+oo) (2/n)*(sen(2/n))/(2/n)$ e devo quindi considerare solo il $2/n$ che mi fa diventare il risultato del limite 0?
e la funzione di partenza diverrebbe $(n*(2/n))^n/2^n$ e quindi $1^n/2^n$ e quindi $1/2^n$
è giusto ragionare così?
oppure devo usare lo sviluppo in serie di taylor?
È giusto. \(\sin \varepsilon \sim \varepsilon\), quindi
\[
\sum_{n=1}^\infty \left(n \sin\frac 2 n \right)^n \left(\frac 1 2 \right)^n \sim \sum 1 = +\infty
\]
\[
\sum_{n=1}^\infty \left(n \sin\frac 2 n \right)^n \left(\frac 1 2 \right)^n \sim \sum 1 = +\infty
\]
oh si giusto sono così euforico dall' aver capito qualcosa che ho trascurato al numeratore il $2^n$
ma questo tipo di ragionamento possiamo applicarlo sempre o solo quando l'argomento del seno tende a 0?
p.s grazie mille dell'aiuto
ma questo tipo di ragionamento possiamo applicarlo sempre o solo quando l'argomento del seno tende a 0?
p.s grazie mille dell'aiuto
"Genny_it":
ma questo tipo di ragionamento possiamo applicarlo sempre o solo quando l'argomento del seno tende a 0?
Credo che ti farà bene un bel ripasso di limiti notevoli, sviluppi asintotici, sviluppi di Taylor e compagnia bella.
va bien ci provo, grazie ancora dell'aiuto 
p.s non ho altre domande su questo esercizio
p.s non ho altre domande su questo esercizio
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