Serie di potenza che definisce una funzione olomorfa
Dimostrare che la serie $\sum_{n=1}^prop ((z+i)/(z-i))^n$
definisce una funzione olomorfa su un disco aperto di raggio 1 e centro -i.
Sappiamo che una serie di potenza definisce una funzione olomorfa nel disco di convergenza.
Io ho pensato che quella serie converge se $|(z+i)/(z-i)|<1$ e risolvendo questa disequazione ottengo che è soddisfatta in ${z in CC , z=u+iv | v<0 }$
In più il suo raggio di convergenza è 1.
Quindi non capisco, mi basta per concludere che allora la seria definisce una funzione olomorfa su un qualsiasi disco di raggio 1 tutto contenuto in quell'insieme? In tal caso avrei finito perchè il disco aperto di raggio 1 e centro -i è contenuto in quell'insieme. Altrimenti dove sbaglio?
Grazie anticipatamente.
definisce una funzione olomorfa su un disco aperto di raggio 1 e centro -i.
Sappiamo che una serie di potenza definisce una funzione olomorfa nel disco di convergenza.
Io ho pensato che quella serie converge se $|(z+i)/(z-i)|<1$ e risolvendo questa disequazione ottengo che è soddisfatta in ${z in CC , z=u+iv | v<0 }$
In più il suo raggio di convergenza è 1.
Quindi non capisco, mi basta per concludere che allora la seria definisce una funzione olomorfa su un qualsiasi disco di raggio 1 tutto contenuto in quell'insieme? In tal caso avrei finito perchè il disco aperto di raggio 1 e centro -i è contenuto in quell'insieme. Altrimenti dove sbaglio?
Grazie anticipatamente.
Risposte
Ti faccio notare che non è una serie di potenze.
Perchè non lo è? 
Perchè non è nella forma $a_n(z-z_0)^n$ ?
Perchè non è nella forma $a_n(z-z_0)^n$ ?
Eh sì. 
Poco male. Puoi invocare il seguente teorema.
Teorema (di Weierstrass, 1841). Se $\{ f_n \}$ è una successione di funzioni olomorfe in un insieme aperto e connesso $R \subset CC$ e $\sum_{k=1}^\infty f_n(z)$ è uniformemente convergente su ogni cerchio interno ad $R$, allora la somma della serie è una funzione olomorfa in $R$.
Poco male. Puoi invocare il seguente teorema.
Teorema (di Weierstrass, 1841). Se $\{ f_n \}$ è una successione di funzioni olomorfe in un insieme aperto e connesso $R \subset CC$ e $\sum_{k=1}^\infty f_n(z)$ è uniformemente convergente su ogni cerchio interno ad $R$, allora la somma della serie è una funzione olomorfa in $R$.
Questo è un risultato che il professore non ha spiegato in aula quindi mi sembra strano che lo utilizzi in un esercizio d'esame 
In ogni caso vedo facilmente che nel mio caso $f_n$ è una successione di funzioni olomorfe nel disco aperto di centro -i e raggio 1 ma come faccio a dire che $\sum_{k=1}^\infty f_n(z)$ è uniformemente convergente su ogni cerchio interno al disco?
In ogni caso vedo facilmente che nel mio caso $f_n$ è una successione di funzioni olomorfe nel disco aperto di centro -i e raggio 1 ma come faccio a dire che $\sum_{k=1}^\infty f_n(z)$ è uniformemente convergente su ogni cerchio interno al disco?
Forse hai visto la versione per successioni di funzioni olomorfe...
Ad ogni modo potresti provare con la convergenza totale (vedi qui).
Ad ogni modo potresti provare con la convergenza totale (vedi qui).
Devo trovare quindi una successione $M_n$ che soddisfi quelle condizioni....
In alternativa si può usare il fatto che la composizione di funzioni olomorfe è olomorfa; in questo caso avresti la composizione delle due funzioni
\[
f(w) := \sum_{k=1}^{\infty} w^n,\qquad g(z) := \frac{z+i}{z-i}
\]
quindi si tratta di ragionare (come in realtà hai già fatto) sui rispettivi domini di olomorfia.
\[
f(w) := \sum_{k=1}^{\infty} w^n,\qquad g(z) := \frac{z+i}{z-i}
\]
quindi si tratta di ragionare (come in realtà hai già fatto) sui rispettivi domini di olomorfia.
quindi dicendo che la composizione di due funzioni olomorfe è una funzione olomorfa posso dire che $f(g(z))$ è olomorfa se lo sono $f$ e $g$.
$g$ lo è in tutto $CC$ eccetto che in $z=i$
mentre $f$ lo è nel disco di convergenza della serie. Essendo una serie geometrica il raggio di convergenza è 1 e converge assolutamente per $|w|<1$ , poichè $w=g(z)$ deve essere $|(z+i)/(z-i)|<1$
Risolvendo:
$|z+i|<|z-i| ;
(z+i)(\bar z -i)<(z-i)(\bar z +i) ;
i\bar z-zi
-i(z-\bar z)<0 ;
-i2iv<0; 2v<0 ;
v<0.$
Quindi in particolare $f(g(z))$ è olomorfa in un disco di centro -i e raggio 1 perchè questo appartiene a entrambi i domini di olomorfia.
Così vi convince?
Grazie in anticipo
$g$ lo è in tutto $CC$ eccetto che in $z=i$
mentre $f$ lo è nel disco di convergenza della serie. Essendo una serie geometrica il raggio di convergenza è 1 e converge assolutamente per $|w|<1$ , poichè $w=g(z)$ deve essere $|(z+i)/(z-i)|<1$
Risolvendo:
$|z+i|<|z-i| ;
(z+i)(\bar z -i)<(z-i)(\bar z +i) ;
i\bar z-zi
-i(z-\bar z)<0 ;
-i2iv<0; 2v<0 ;
v<0.$
Quindi in particolare $f(g(z))$ è olomorfa in un disco di centro -i e raggio 1 perchè questo appartiene a entrambi i domini di olomorfia.
Così vi convince?
Grazie in anticipo
Va bene. 
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