Serie di Poisson
Ciao a tutti,
sto cercando di esprimere in serie di Poisson un onda quadra con duty cycle 50% con ampiezza che va da -A a +A (valor medio nullo). Centrando l'origine degli assi in corrispondenza del centro del semiperiodo positivo calcolo i coefficienti $c_k$ come :
$c_k = \frac{1}{T} \int_(-T/2)^(T/2) f(t)*e^{-i2kpit/T} dt$
dove f(t) è l'onda quadra. Scompongo l'esponenziale complesso in seno e coseno ottenendo (ovviamene) 0 per l'integrale in seno e per il coseno invece :
$(2A)/(kpi) * sin(kpi/2)$
esprimo ora la funzione dunque come :
$\sum_(k=-\infty)^(\infty) c_k e^(j2kpit/T)$
ma noto che per k=0 ho un valore in dc diverso da zero ! dove sbaglio ?
sto cercando di esprimere in serie di Poisson un onda quadra con duty cycle 50% con ampiezza che va da -A a +A (valor medio nullo). Centrando l'origine degli assi in corrispondenza del centro del semiperiodo positivo calcolo i coefficienti $c_k$ come :
$c_k = \frac{1}{T} \int_(-T/2)^(T/2) f(t)*e^{-i2kpit/T} dt$
dove f(t) è l'onda quadra. Scompongo l'esponenziale complesso in seno e coseno ottenendo (ovviamene) 0 per l'integrale in seno e per il coseno invece :
$(2A)/(kpi) * sin(kpi/2)$
esprimo ora la funzione dunque come :
$\sum_(k=-\infty)^(\infty) c_k e^(j2kpit/T)$
ma noto che per k=0 ho un valore in dc diverso da zero ! dove sbaglio ?
Risposte
nessuno che possa darmi una mano ? 
Non so se questo dissipa il tuo dubbio, ma
\[
c_0 = \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(t)\,\mathrm{d}t = 0
\]
L'espressione dei \(c_k\) che hai trovato ha senso solo se \(k \neq 0\).
Banale osservazione per il calcolo dei coefficienti \(c_k\): una primitiva di \(e^{Ct}\) è data dalla funzione \(1/C\,e^{Ct}\) se \(C \neq 0\) e dalla funzione \(t\) se \(C = 0\).
\[
c_0 = \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(t)\,\mathrm{d}t = 0
\]
L'espressione dei \(c_k\) che hai trovato ha senso solo se \(k \neq 0\).
Banale osservazione per il calcolo dei coefficienti \(c_k\): una primitiva di \(e^{Ct}\) è data dalla funzione \(1/C\,e^{Ct}\) se \(C \neq 0\) e dalla funzione \(t\) se \(C = 0\).
Spiego da dove nasce il mio dubbio:
Leggendo della serie di Fourier su un qualsiasi libro vengono definiti i coefficienti $a_k$, $b_k$ e $a_0$, in particolare la DC viene calcolata a parte tramite $a_0$. Una volta calcolati i coefficienti esprimo il segnale come DC + somma dei coefficienti da 1 ad infinito. Per quanto riguarda Poisson invece il segnale viene espresso come:
$\sum_(k=-\infty)^\infty c_k e^(i2\pi k t/T)$
ma, per come mi dici tu, la dc la devo calcolare a parte, in questo caso non posso più esprimere il segnale come qui sopra poichè dovrei escludere la dc dalla sommatoria e fare il conto a parte. Facendo il conto su un onda quadra con un valor medio non nullo, come ho scritto sopra, se accetto che sin(k)/k con k=0 sia pari ad 1 allora posso continuare ad esprimere il segnale con la sommatoria suddetta, ma ciò non funziona con un onda quadra a valore medio nullo, dal che deduco che la dc si calcola sempre a parte, ovvero non posso esprimere il segnale in maniera compatta includendo la dc nella sommatoria giusto ?
Leggendo della serie di Fourier su un qualsiasi libro vengono definiti i coefficienti $a_k$, $b_k$ e $a_0$, in particolare la DC viene calcolata a parte tramite $a_0$. Una volta calcolati i coefficienti esprimo il segnale come DC + somma dei coefficienti da 1 ad infinito. Per quanto riguarda Poisson invece il segnale viene espresso come:
$\sum_(k=-\infty)^\infty c_k e^(i2\pi k t/T)$
ma, per come mi dici tu, la dc la devo calcolare a parte, in questo caso non posso più esprimere il segnale come qui sopra poichè dovrei escludere la dc dalla sommatoria e fare il conto a parte. Facendo il conto su un onda quadra con un valor medio non nullo, come ho scritto sopra, se accetto che sin(k)/k con k=0 sia pari ad 1 allora posso continuare ad esprimere il segnale con la sommatoria suddetta, ma ciò non funziona con un onda quadra a valore medio nullo, dal che deduco che la dc si calcola sempre a parte, ovvero non posso esprimere il segnale in maniera compatta includendo la dc nella sommatoria giusto ?
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